Question

2．一個(gè)含30°角的三角尺與一張圓形硬紙片如圖放置在桌面上，圓心O在斜邊AB上，三角尺的兩直角邊與圓相切，切點(diǎn)分別為M、N．若AC=3+$\sqrt{3}$，則陰影部分的面積為（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$-π
• B． $\sqrt{3}$-$\frac{1}{6}$π
• C． $\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π
• D． $\frac{9\sqrt{3}}{2}$-$\frac{3}{2}$π

Answer 1

分析 本題需先求出直角三角形的邊長BC，再利用切線的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)得出四邊形ONCM是正方形，然后根據(jù)AM=$\sqrt{3}$OM，求得半徑，求出直角三角形BON、扇形EON的面積，即可求出陰影部分的面積．

解答 解：∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠A=60°，
∴BC=$\sqrt{3}$AC=$\sqrt{3}$（3+$\sqrt{3}$）=3+3$\sqrt{3}$，
連接OM、ON，
∵AC，BC與⊙O相切，
∴OM⊥AC，ON⊥BC
∵∠C=90°，OM=ON，
∴四邊形ONCM是正方形，
∴OM=ON=NC=CM，
設(shè)OM=R，則ON=NC=CM=R，
∴AM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$OM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$R，
∵CM=AC-AM，
∴R=3+$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$R，
解得R=3，
∴CN=3，
∴BN=BC-CN=3+3$\sqrt{3}$-3=3$\sqrt{3}$，
∴S_△BON=$\frac{1}{2}$BN•ON=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{3}$×3=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$，
∵ON⊥BC，∠B=30°，
∴∠BON=60°，
∴S_扇形=$\frac{60π×{3}^{2}}{360}$=$\frac{3π}{2}$，
∴S_陰影=S_△BON-S_扇形=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$-$\frac{3}{2}$π．
故選D．

點(diǎn)評 本題主要考查了切線的性質(zhì)、扇形面積的求法，在解題時(shí)要注意面積計(jì)算公式和圖形的有關(guān)性質(zhì)的綜合應(yīng)用．