Question

7．如圖1，矩形ABCD中，AB=10，AD=8．將矩形ABCD折疊，使得頂點B落在CD邊上的P點處．已知折痕AO與邊BC交于點O，連結(jié)AP、OP、OA．
（1）求OC的長；
（2）若將△PCO沿著射線PA方向平移，設(shè)平移的距離為n（平移距離指點P沿PA方向所經(jīng)過的線段長度）．當點C分別平移到線段PO、AO上時，直接寫出相應(yīng)的n的值；
（3）如圖2，將△PCO繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一個角α，記旋轉(zhuǎn)中的△PCO為△P′OC′．在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)P′O所在的直線與線段AP交于點Q，與射線AD交于點H．是否存在這樣的Q、H兩點，使△AQH為等腰三角形？若存在，求出此時AQ的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用折疊和勾股定理求得答案即可；
（2）過C作CC₁∥PA，交PO于C₂，由此利用三角形的面積和折疊的性質(zhì)求得答案即可；
（3）分三種情況探討：①當QA=QH時，②當AH=AQ時，③當HA=HQ時，逐一分析探討得出答案即可．

解答 解：（1）∵折疊，
∴AP=AB=10，AD=8，
∴DP=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∴CP=4，
設(shè)OC=x，在直角三角形中，
（8-x）²=x²+4²
解得：x=3
∴OC=3；
（2）如圖1，

①過C作CC₁∥PA，交PO于C₂，
∵AP⊥PO，
∴CC₁⊥PO，
∴CC₁=$\frac{PC•CO}{PO}$=$\frac{12}{5}$=n；
②作P₂C₂∥AB，
則∠2=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AP₂=P₂C₂=4，
∴PP₂=10-4=n．
（3）①當QA=QH時，
∠DAQ=∠AHQ，
又∠AHQ=∠P′OC，
∵∠POC＞∠DAP，
∴不存在．
②當AH=AQ時，
如圖，

∵∠AQH=∠H，
∠H=∠QOC，
∴△EQO是等腰三角形，
∵∠EAB=∠APO，
∴tan∠EAB=$\frac{4}{3}$，
∴AE=$\frac{40}{3}$，
OE=$\frac{40}{3}$-5=$\frac{25}{3}$，
AE=$\frac{50}{3}$，
∴AQ=$\frac{50}{3}$-$\frac{25}{3}$=$\frac{25}{3}$．
③當HA=HQ時，
如圖，

∠2=∠3．
又∵∠2=∠1，
∴∠1=∠4，
∵∠C=∠APO，
∴△PCO∽△QPO，
∴$\frac{PQ}{PC}$=$\frac{PO}{CO}$，
即PQ=$\frac{4×5}{3}$=$\frac{20}{3}$，
∴AQ=10-$\frac{20}{3}$=$\frac{10}{3}$．

點評 此題考查四邊形的綜合題，綜合利用勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)等知識解決問題，同時滲透分類討論的思想．