Question

如圖，在△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，AH是邊BC上的高．
（1）求證：四邊形ADEF是平行四邊形；
（2）求證：∠DHF=∠DEF．

Answer 1

考點：三角形中位線定理,直角三角形斜邊上的中線,平行四邊形的判定

專題：證明題,幾何綜合題

分析：（1）根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得EF∥AB，DE∥AC，再根據(jù)平行四邊形的定義證明即可；
（2）根據(jù)平行四邊形的對線相等可得∠DEF=∠BAC，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DH=AD，F(xiàn)H=AF，再根據(jù)等邊對等角可得∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，然后求出∠DHF=∠BAC，等量代換即可得到∠DHF=∠DEF．

解答：證明：（1）∵點D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，
∴DE、EF都是△ABC的中位線，
∴EF∥AB，DE∥AC，
∴四邊形ADEF是平行四邊形；

（2）∵四邊形ADEF是平行四邊形，
∴∠DEF=∠BAC，
∵D，F(xiàn)分別是AB，CA的中點，AH是邊BC上的高，
∴DH=AD，F(xiàn)H=AF，
∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，
∵∠DAH+∠FAH=∠BAC，
∠DHA+∠FHA=∠DHF，
∴∠DHF=∠BAC，
∴∠DHF=∠DEF．

點評：本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并準確識圖是解題的關鍵．