Question

【題目】以點(diǎn)P為端點(diǎn)豎直向下的一條射線PN，以它為對(duì)稱軸向左右對(duì)稱擺動(dòng)形成了射線PN1，PN2，我們規(guī)定：∠N1PN2為點(diǎn)P的“搖擺角”，射線PN搖擺掃過的區(qū)域叫作點(diǎn)P的“搖擺區(qū)域”（含PN1，PN2）．

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P（2，3）．

（1）當(dāng)點(diǎn)P的搖擺角為60°時(shí)，請(qǐng)判斷O（0，0）、A（1，2）、B（2，1）、C（2+，0）屬于點(diǎn)P的搖擺區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)是　 　（填寫字母即可）；

（2）如果過點(diǎn)D（1，0），點(diǎn)E（5，0）的線段完全在點(diǎn)P的搖擺區(qū)域內(nèi)，那么點(diǎn)P的搖擺角至少為　 　°；

（3）⊙W的圓心坐標(biāo)為（a，0），半徑為1，如果⊙W上的所有點(diǎn)都在點(diǎn)P的搖擺角為60°時(shí)的搖擺區(qū)域內(nèi)，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) B、C；（2）90°；（3）2﹣≤a≤2+.

【解析】

（1）根據(jù)題意作出圖象，從而得到答案；

（2）如圖所示，當(dāng)射線PN1過點(diǎn)D時(shí)，由對(duì)稱性可知，此時(shí)點(diǎn)E不在點(diǎn)P的搖擺區(qū)域內(nèi)，

當(dāng)射線PN2過點(diǎn)E時(shí)，由對(duì)稱性可知，此時(shí)點(diǎn)D在點(diǎn)P的搖擺區(qū)域內(nèi)，易知：此時(shí)PQ＝QE，從而得到∠EPQ的度數(shù)，從而得到答案；

（3）設(shè)直線PN1與x軸交于點(diǎn)M，⊙W與射線PN1相切于點(diǎn)N，P為端點(diǎn)豎直向下的一條射線PN與x軸交于點(diǎn)Q，由題意可知：∠PMW＝60°，利用三角函數(shù)求出MW，MQ的值，從而得到OM，OW的值，得到兩個(gè)W的坐標(biāo)，從而得到a的取值范圍.

解：（1）根據(jù)“搖擺角”作出圖形，如圖所示，

將O、A、B、C四點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中描出，后，

可以發(fā)現(xiàn)，B、C在點(diǎn)P的搖擺區(qū)域內(nèi)，

故屬于點(diǎn)P的搖擺區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)是B、C

（2）如圖所示，當(dāng)射線PN1過點(diǎn)D時(shí)，

由對(duì)稱性可知，此時(shí)點(diǎn)E不在點(diǎn)P的搖擺區(qū)域內(nèi)，

當(dāng)射線PN2過點(diǎn)E時(shí)，

由對(duì)稱性可知，此時(shí)點(diǎn)D在點(diǎn)P的搖擺區(qū)域內(nèi)，

易知：此時(shí)PQ=QE，

∴∠EPQ=45°，

∴如果過點(diǎn)D（1，0），點(diǎn)E（5，0）的線段完全在點(diǎn)P的搖擺區(qū)域內(nèi)，那么點(diǎn)P的搖擺角至少為90°

（3）如果⊙W上的所有點(diǎn)都在點(diǎn)P的搖擺角為60°時(shí)的搖擺區(qū)域內(nèi)，

此時(shí)⊙W與射線PN1相切，

設(shè)直線PN1與x軸交于點(diǎn)M，⊙W與射線PN1相切于點(diǎn)N，P為端點(diǎn)豎直向下的一條射線PN與x軸交于點(diǎn)Q，

由定義可知：∠PMW=60°，

∵NW=1，PQ=3，

∴sin∠PMW=，tan∠PMW=

∴MW=，MQ=，

∴OM=2﹣，

∴OW=OM+MW=2﹣+=2﹣

∴此時(shí)W的坐標(biāo)為：（2﹣，0）

由對(duì)稱性可知：當(dāng)⊙W與射線PN2相切時(shí)，

此時(shí)W的坐標(biāo)為：（2+，0）

∴a的范圍為：2﹣≤a≤2+