Question

已知直線y=kx+3-k，當k=1，k=

3

2

以及取任何一個實數(shù)時，所得的直線總經(jīng)過一個定點P．
（1）求定點P的坐標；
（2）若k=

3

2

時，直線y=kx+3-k分別交x軸、y軸于A、B兩點，以點P為頂點的拋物線經(jīng)過點A，求此拋物線的解析式；
（3）若k≠

3

2

時，直線y=kx+3-k與（2）中拋物線的另一個交點為E，求當k為何值時，在拋物線的對稱軸上存在一點D，使得以A、B、E、D為頂點的四邊形是平行四邊形．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）分別將k=1，k=

3

2

代入求出兩函數(shù)解析式，進而得出其交點坐標；
（2）利用頂點式求出函數(shù)解析式即可；
（3）根據(jù)①當AB為平行四邊形的邊時，則DE由AB平移所得，②當AB為平行四邊形的對角線時分別求出符合題意的值即可．

解答：解：（1）當k=1，k=

3

2

時，

y=x+2 y= 3 2 x+ 3 2

，
解得：

x=1 y=3

，
所以P點坐標為（1，3）；

（2）當k=

3

2

時，求得A（-1，0），B（0，

3

2

）
設以點P（1，3）為頂點的拋物線為y=a（x-1）²+3，
將A（-1，0）代入y=a（x-1）²+3，
得a=-

3

4

所以，拋物線解析式為y=-

3

4

(x-1)2+3（或y=-

3

4

x2+

3

2

x+

9

4

）；

（3）①當AB為平行四邊形的邊時，則DE由AB平移所得，
i）若A平移至D，則B平移至E（如圖1）

由對稱軸為直線x=1，可知D橫坐標為1，
又∵A（-1，0），B（0，

3

2

），可知E橫坐標為2
將x=2代入y=-

3

4

(x-1)2+3，得y=

9

4

∴E坐標為（2，

9

4

）
把E坐標為（2，

9

4

）代入y=kx+3-k，得k=-

3

4

，
ii）若A平移至E，則B平移至D（如圖2）

由對稱軸為直線x=1，可知D橫坐標為1，
又∵A（-1，0），B（0，

3

2

），可知E橫坐標為0
將x=0代入y=-

3

4

(x-1)2+3，得y=

9

4

∴E坐標為（0，

9

4

）
把E坐標為（0，

9

4

）代入y=kx+3-k，得k=

3

4

，
②當AB為平行四邊形的對角線時（如圖3）

AB與DE交于點M，則M是AB中點，也是DE中點
又∵A（-1，0），B（0，

3

2

），可知M坐標為（-

1

2

，

3

4

）
∵可知D橫坐標為1，所以E橫坐標為-2
將x=-2代入y=-

3

4

(x-1)2+3，得y=-

15

4

∴E坐標為（-2，-

15

4

）
把E坐標為（-2，-

15

4

）代入y=kx+3-k，得k=

9

4

，
綜上知，k=-

3

4

，

3

4

，

9

4

時，以A、B、E、D為頂點的四邊形是平行四邊形．
（注：其它合理解法，酌情給分）

點評：此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及平行四邊形的判定與性質(zhì)以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等知識，利用分類討論得出是解題關鍵．