Question

17．觀察下列關(guān)于自然數(shù)的等式：
4×3²-4×1²=32   ①
4×5²-4×3²=64   ②
4×7²-4×5²=96   ③
…
根據(jù)上述規(guī)律解決下列問題：
（1）完成第四個等式：4×9²-4×7²=128；
（2）寫出你猜想的第n個等式（用含n的式子表示），并驗證其正確性．

Answer 1

分析 （1）分解給定等式，發(fā)現(xiàn)“3=2×1+1，1=2×1-1，5=2×2+1，3=2×2-1，7=2×3+1，5=2×3-1”，從而得出第四個得數(shù)中該為“2×4+1=9，2×4-1=7”，在第三個等式中用9替換7，用7替換5即可得出結(jié)論；
（2）結(jié)合（1）故猜想4（2n+1）²-4（2n-1）²=32n，利用完全平方公式的展開式結(jié)合整式的加減運算法則即可證出結(jié)論成立．

解答 解：（1）觀察等式4×3²-4×1²=32①，4×5²-4×3²=64②，4×7²-4×5²=96③，
發(fā)現(xiàn)3=2×1+1，1=2×1-1，5=2×2+1，3=2×2-1，7=2×3+1，5=2×3-1，
則第四個等式為：4×（2×4+1）²-4×（2×4-1）²=32×4，即4×9²-4×7²=128．
故答案為：4×9²-4×7²=128．
（2）結(jié)合（1）猜想第n個等式為：4（2n+1）²-4（2n-1）²=32n，
證明：左邊=4（2n+1）²-4（2n-1）²，
=4×[4n²+4n+1-（4n²-4n+1）]，
=4×8n，
=32n=右邊．
故猜想成立．

點評 本題考查了規(guī)律型中的數(shù)字的變化、完全平方公式以及整式的運算，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)規(guī)律“4（2n+1）²-4（2n-1）²=32n”．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)給定等式變化找出變化規(guī)律是關(guān)鍵．