Question

2．如圖1，將矩形OABC置于平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A、C分別在x、y軸的正半軸，點(diǎn)B（4，2），將矩形OABC翻折，使得點(diǎn)C落在線段OA上，翻折后點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P，折痕所在直線分別交直線BC、直線OA于點(diǎn)D、E過(guò)點(diǎn)P作OA的垂線交折痕所在直線于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在線段OA（不含端點(diǎn)O、A）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，y）．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及自變量x的取值范圍；
（2）如圖2，M、N分別是邊OA、AB的中點(diǎn)，R是線段MN上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)四邊形ORBQ的面積為S，當(dāng)x為何值時(shí)，S取得最小值，并求出該最小值．

Answer 1

分析 （1）連接CQ，PQ交BD于點(diǎn)F，由折疊的性質(zhì)得出CQ=PQ，由勾股定理得出x²+（y-2）²=y²，即可得出結(jié)果；
（2）連接OB、MB，由三角形中位線定理得出MN∥OB，求出S_△OBR=S_△OBM=$\frac{1}{2}$OM×AB=2，設(shè)直線OB與直線PQ相交于點(diǎn)G（x，$\frac{x}{2}$），求出S_△OBQ=S_△OGQ+S_△BGQ=$\frac{1}{2}$x²-x+2，得出S是x的二次函數(shù)，即可得出結(jié)果．

解答 解：（1）連接CQ，PQ交BD于點(diǎn)F，如圖1所示：
由折疊的性質(zhì)得：CQ=PQ，
∵B（4，2），Q（x，y），
∴在Rt△CFQ中，CF=x，QF=y-2，CQ=y，
∴x²+（y-2）²=y²，
∴y=$\frac{1}{4}$x²+1，
∵當(dāng)點(diǎn)P在線段OA（不含端點(diǎn)O、A）上運(yùn)動(dòng)，
∴自變量x的取值范圍為：0＜x＜4；
（2）連接OB、MB，如圖2所示：
∵M(jìn)、N分別是邊OA、AB的中點(diǎn)，
∴MN∥OB，
∴S_△OBR=S_△OBM=$\frac{1}{2}$OM×AB=$\frac{1}{2}$×2×2=2，
設(shè)直線OB與直線PQ相交于點(diǎn)G（x，$\frac{x}{2}$），
∴S_△OBQ=S_△OGQ+S_△BGQ=$\frac{1}{2}$QG•OA=$\frac{1}{2}$（y-$\frac{x}{2}$）×4=2（$\frac{1}{4}$x²+1-$\frac{x}{2}$）=$\frac{1}{2}$x²-x+2，
∴S=S_△OBR+S_△OBQ=$\frac{1}{2}$x²-x+2+2=$\frac{1}{2}$x²-x+4=$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{7}{2}$（0＜x＜4），
∴當(dāng)x=1時(shí)，S的最小值=$\frac{7}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是幾何變換綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、勾股定理、三角形中位線定理、三角形面積的計(jì)算、二次函數(shù)的最值等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，求出S是x的二次函數(shù)是解決問(wèn)題（2）的關(guān)鍵．