Question

如果兩個三角形兩邊和第三邊上的中線對應成比例，那么這兩個三角形相似．

 

（判斷對錯）

Answer 1

考點：相似三角形的判定

專題：

分析：首先根據(jù)題意畫出圖形．已知，AD、A′D′分別是△ABC與△A′B′C′的中線，

AB

A′B′

=

AC

A′C′

=

AD

A′D′

．再作出輔助線倍長中線法：延長AD到M，使DM=AD，連結MC，證明△ABD≌△MCD，那么AB=MC，同理得出A′B′=M′C′，然后證明△ACM∽△A′C′M′，得出∠MAC=∠M′A′C′，同理可得∠MAB=∠M′A′B′，于是∠BAC=∠B′A′C′，再根據(jù)兩邊及其夾角法即可證明△ABC∽△A′B′C′．

解答：解：正確．理由如下：
如圖，AD、A′D′分別是△ABC與△A′B′C′的中線，

AB

A′B′

=

AC

A′C′

=

AD

A′D′

．
延長AD到M，使DM=AD，連結MC．
在△ABD與△MCD中，

AD=MD ∠ADB=∠MDC BD=CD

，
∴△ABD≌△MCD（SAS），
∴AB=MC，
同理延長A′D′到M′，使D′M′=A′D′，連結M′C′，那么A′B′=M′C′，
∴

MC

M′C′

=

AB

A′B′

．
在△ACM與△A′C′M′中，

MC

M′C′

=

AC

A′C′

=

AM

A′M′

，
∴△ACM∽△A′C′M′，
∴∠MAC=∠M′A′C′，
同理可得∠MAB=∠M′A′B′，
∴∠MAC+∠MAB=∠M′A′C′+∠M′A′B′，∠BAC=∠B′A′C′．
在△ABC與△A′B′C′中，

AB A′B′ = AC A′C′ ∠BAC=∠B′A′C′

，
∴△ABC∽△A′B′C′．
故答案為正確．

點評：本題考查了相似三角形的判定，判定兩個三角形相似的方法有：
（1）平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似；
（2）三邊法：三組對應邊的比相等的兩個三角形相似；
（3）兩邊及其夾角法：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似；
（4）兩角法：有兩組角對應相等的兩個三角形相似．
同時考查了全等三角形的判定與性質．