Question

已知，一張矩形紙片ABCD，把頂點A和C疊合在一起，得折痕EF（如圖）．
（1）猜猜四邊形AECF是什么特殊四邊形，并證明你的猜想；
（2）若AB=9cm，BC=3cm，求折痕EF的長．

Answer 1

考點：翻折變換（折疊問題）

專題：計算題

分析：（1）由矩形的性質(zhì)得AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠AFE=∠CEF，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得AF=CF，∠AFE=∠CFE，則∠CFE=∠CEF，所以CE=CF，于是得到CE=AF，加上CE∥AF，可判斷四邊形AFCE為平行四邊形，由于AF=CF所以可判斷四邊形AFCE為菱形；
（2）連結(jié)AC，在Rt△ABC利用勾股定理計算出AC=3

10

，設(shè)BF=xcm，則AF=CF=（9-x）cm，在Rt△BFC中，根據(jù)勾股定理得到x²+3²=（9-x）²，解得x=4，則AF=5cm，然后利用菱形的面積公式得到

1

2

EF•AC=AF•BC，于是可計算出EF=

10

cm．

解答：解：（1）四邊形AECF是菱形．理由如下：
∵四邊形ABCD為矩形，
∴AB∥CD，
∴∠AFE=∠CEF，
∵矩形ABCD沿EF折疊，頂點A和C疊合在一起，
∴AF=CF，∠AFE=∠CFE，
∴∠CFE=∠CEF，
∴CE=CF，
∴CE=AF，
而CE∥AF，
∴四邊形AFCE為平行四邊形，
∵AF=CF，
∴四邊形AFCE為菱形；

（2）連結(jié)AC，如圖，
在Rt△ABC中，AB=9cm，BC=3cm，
∴AC=

AB2+BC2

=3

10

cm，
設(shè)BF=xcm，則AF=CF=（9-x）cm，
在Rt△BFC中，
∵BF²+BC²=CF²，
∴x²+3²=（9-x）²，解得x=4，
∴AF=5cm，
∵S_菱形AFCE=

1

2

EF•AC=AF•BC，
∴EF=

2×5×3

3 10

=

10

（cm）．

點評：本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．也考查了矩形的性質(zhì)、菱形的判定方法和勾股定理．