Question

17．如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，CD＜AB，點E在邊BC上，且CE=DC，BE=AB．
（1）求證：AE⊥DE；
（2）定義：如果某四邊形的一條邊上（除頂點外）有一個點，使得除該邊兩個頂點外的另外兩個頂點與它的連線互相垂直，我們把滿足這種條件的點叫做該四邊形的“勾股點”，例如點E在邊BC上，且AE⊥DE，所以點E是四邊形ABCD的勾股點，請?zhí)骄吭谶匒D上有沒有四邊形ABCD的勾股點？并說明你的理由．
（3）請判斷在邊CD上有沒有四邊形ABCD的勾股點？并說明你的理由．

Answer 1

分析 （1）欲證明AE⊥DE，只要證明∠DEC+∠AEB=90°即可．
（2）線段AD的中點F是四邊形ABCD的勾股點．如圖2中，連接CF、BF，延長CF交BA的延長線于點H，由△DFC≌△AFH推出BH=BC，EH=EC即可解決問題．
（3）在邊CD上沒有四邊形ABCD的勾股點，設(shè)點M是線段CD任意一點，連接AM、BM，只要證明∠AMB＜90°即可．

解答 （1）證明：如圖1中，

∵CE=DC，BE=AB，
∴∠CDE=∠CED，∠AEB=∠BAE，
∵CD∥AB，
∴∠DCB+∠ABC=180°，
∵∠DCE+2∠DEC=180°，∠ABE+2∠AEB=180°，
∴2∠DEC+2∠AEB=180°，
∴∠DEC+∠AEB=90°，
∴∠ADE=180°-（∠DEC+∠AEB）=90°，
即AE⊥DE．

（2）線段AD的中點F是四邊形ABCD的勾股點．
理由如下：如圖2中，連接CF、BF，延長CF交BA的延長線于點H，

∵∠DFC=∠AFH，∠CDF=∠HAF，DF=AF，
∴△DFC≌△AFH，
∴CF=AF，CD=AH，
∴HB=AH+AB=CD+AB=CE+BE=BC，
∴△BHC是等腰三角形，
BF是底邊上的中線，
∴BF⊥CH，
即點F是四邊形ABCD的勾股點．

（3）在邊CD上沒有四邊形ABCD的勾股點，
理由：如圖3中，設(shè)點M是線段CD任意一點，連接AM、BM．

∵∠AFB＜∠AED＜90°，而∠AMB＜∠AFB，
∴∠AMB＜90°，
∴點M不是四邊形ABCD的勾股點．

點評 本題考查四邊形綜合題、平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．