Question

7．如圖，二次函數(shù)y=-x²+$\frac{5}{3}$x+4與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)沿OA以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A后立刻在以原來(lái)的速度沿AO返回；點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿AC以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)Q作QD⊥x軸，垂足為D．點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P也隨之停止．設(shè)點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t≥0）．

（1）當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，求△QPA面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)線(xiàn)段PQ與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的取值范圍；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，以P、D、Q為頂點(diǎn)的三角形與△OBC相似；
（4）如圖2：FE保持垂直平分PQ，且交PQ于點(diǎn)F，交折線(xiàn)QC-CO-OP于點(diǎn)E，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，請(qǐng)你直接寫(xiě)出點(diǎn)E所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）如圖1，根據(jù)已知得：點(diǎn)P從點(diǎn)O向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為0≤t≤3，作△QPA的高QE，分別表示出AP和QE的長(zhǎng)，利用面積公式代入計(jì)算即可；
（2）作出對(duì)稱(chēng)軸，當(dāng)線(xiàn)段PQ與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，P應(yīng)該在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，所以要先計(jì)算對(duì)稱(chēng)軸，即t＞$\frac{5}{6}$，點(diǎn)Q也應(yīng)該在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，所以要計(jì)算AF的長(zhǎng)，滿(mǎn)足AQ＜AF，從而得出結(jié)論；
（3）分四種情況討論：①當(dāng)△BOC∽△QDP時(shí)，如圖3，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例列方程解出即可；②如圖4，當(dāng)△BOC∽△PDQ時(shí)；③如圖5，當(dāng)△BOC∽△PDQ時(shí)；④如圖6，當(dāng)△BOC∽△PDQ時(shí)；同理依次算出t的值，注意在四種情況下，PD的值不同，要分別根據(jù)圖形計(jì)算；
（4）點(diǎn)E所經(jīng)過(guò)的路徑從t=0時(shí)開(kāi)始：點(diǎn)E開(kāi)始在AC的中點(diǎn)處，當(dāng)0≤t≤3時(shí)，E～C～O～E，當(dāng)3＜t≤5時(shí)，點(diǎn)P從點(diǎn)A向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑是：圖8的點(diǎn)E～O～圖9中的點(diǎn)E，分別計(jì)算各條線(xiàn)段的長(zhǎng)，并相加即可．

解答 解：（1）如圖1，y=-x²+$\frac{5}{3}$x+4，
y=0時(shí)，-x²+$\frac{5}{3}$x+4=0，
解得：x₁=3，x₂=-$\frac{4}{3}$，
∴A（3，0），B（-$\frac{4}{3}$，0），
x=0時(shí)，y=4，則OC=4，AC=5，
∵OA=3，
∴0≤t≤3，
由題意得：OP=t，AQ=t，
過(guò)Q作QE⊥x軸于E
∴QE∥y軸，
∴$\frac{AQ}{AC}=\frac{QE}{OC}$，
∴$\frac{t}{5}=\frac{QE}{4}$，
∴QE=$\frac{4t}{5}$，
∴S=S_△APQ=$\frac{1}{2}$AP•QE=$\frac{1}{2}$×（3-t）•$\frac{4t}{5}$=-$\frac{2{t}^{2}}{5}$+$\frac{6t}{5}$；
（2）對(duì)稱(chēng)軸：x=-$\frac{\frac{5}{3}}{2×（-1）}$=$\frac{5}{6}$，
∴t＞$\frac{5}{6}$，
∵FG∥y軸，
∴$\frac{AF}{AC}=\frac{AG}{AO}$，
∴$\frac{AF}{5}=\frac{3-\frac{5}{6}}{3}$，
∴AF=$\frac{65}{18}$，
∴t＜$\frac{65}{18}$，
∴當(dāng)$\frac{5}{6}$＜t＜$\frac{65}{18}$時(shí)，線(xiàn)段PQ與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸沒(méi)有公共點(diǎn)；
（3）OP=t，AP=3-t，AQ=t，DQ=$\frac{4t}{5}$
①當(dāng)△BOC∽△QDP時(shí)，如圖3，
∵QD∥y軸，
∴$\frac{AQ}{AC}=\frac{AD}{OA}$，
∴$\frac{t}{5}=\frac{AD}{3}$，
∴AD=$\frac{3t}{5}$，
∴PD=3-t-$\frac{3t}{5}$=-$\frac{8t}{5}$+3，
∵$\frac{OB}{QD}=\frac{OC}{DP}$，
∴$\frac{\frac{4}{3}}{\frac{4t}{5}}$=$\frac{4}{-\frac{8t}{5}+3}$，
∴t=$\frac{3}{4}$；
②如圖4，當(dāng)△BOC∽△PDQ時(shí)，
∴$\frac{OB}{PD}=\frac{OC}{DQ}$，
∴$\frac{\frac{4}{3}}{-\frac{8t}{5}+3}$=$\frac{4}{\frac{4t}{5}}$，
∴t=$\frac{45}{28}$；
③如圖5，當(dāng)△BOC∽△PDQ時(shí)，PD=OP+AD-OA=t+$\frac{3t}{5}$-3=$\frac{8t}{5}$-3，
∴$\frac{OB}{PD}=\frac{OC}{DQ}$，
∴$\frac{\frac{4}{3}}{\frac{8t}{5}-3}$=$\frac{4}{\frac{4t}{5}}$，
∴t=$\frac{9}{4}$；
④如圖6，當(dāng)△BOC∽△PDQ時(shí)，PD=AD-AP=$\frac{3t}{5}$-（t-3）=-$\frac{2t}{5}$+3，
∵QD∥y軸，
∴$\frac{OB}{PD}=\frac{OC}{DQ}$，
∴$\frac{\frac{4}{3}}{-\frac{2t}{5}+3}$=$\frac{4}{\frac{4t}{5}}$，
∴t=$\frac{9}{2}$；
綜上所述：當(dāng)t=$\frac{3}{4}$或$\frac{45}{28}$或$\frac{9}{4}$或$\frac{9}{2}$時(shí)，以P、D、Q為頂點(diǎn)的三角形與△OBC相似；
（4）當(dāng)t=0時(shí)，如圖7，P在O點(diǎn)，Q在A點(diǎn)，
∵EF是OA的垂直平分線(xiàn)，
∴E是AC的中點(diǎn)，
∴EC=$\frac{5}{2}$，
當(dāng)t=3時(shí)，P在A點(diǎn)，Q在AC上，則AQ=3，AF=$\frac{3}{2}$，
cos∠A=$\frac{AF}{AE}=\frac{OA}{AC}$，
∴$\frac{\frac{3}{2}}{AE}$=$\frac{3}{5}$，
∴AE=$\frac{5}{2}$，
∴OE=3-$\frac{5}{2}$=$\frac{1}{2}$，
當(dāng)t=5時(shí)，Q在C點(diǎn)，P在OA上，連接EP，則CE=EP，
設(shè)EP=x，則OE=4-x，
則x²=（4-x）²+1²，
解得：x=$\frac{17}{8}$，
∴OE=4-$\frac{17}{8}$=$\frac{15}{8}$；
∴點(diǎn)E所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)=$\frac{5}{2}$+4+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{15}{8}$=$\frac{75}{8}$；
則點(diǎn)E所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為$\frac{75}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)的綜合題，綜合性較強(qiáng)，是運(yùn)動(dòng)型問(wèn)題；此類(lèi)題的關(guān)鍵是要弄清動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑，一般從動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的某些特殊位置入手，從開(kāi)始到停止，認(rèn)真觀察各時(shí)間所形成的圖形；對(duì)于兩直角三角形相似，如果不確定對(duì)應(yīng)邊時(shí)，要分情況進(jìn)行討論．