Question

9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，?OABC的頂點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為（10，0），（2，4），點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BC上由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s
（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，四邊形PCDA是平行四邊形？并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)△ODP是等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 由四邊形OABC是平行四邊形，得到OA=BC，OA∥BC，于是得到OA=10，OE=AF=2，得到OD=AD=$\frac{1}{2}$OA=5，
（1）根據(jù)四邊形PCDA是平行四邊形，得到PC=AD，即10-2t=5，解方程即可得到結(jié)論；
（2）如圖2，分三種情況①當(dāng)PD=OD=5時(shí)，過P作PE⊥OA于E，則PE=4，得到DE=3，求出P₁（8，4），②當(dāng)PD=OP時(shí)，過P作PF⊥OA于F，則PF=4，OF=$\frac{5}{2}$，得到P₃（$\frac{5}{2}$，4）；③當(dāng)PO=OD=5時(shí)，過P作PG⊥OA于G，則PG=4，得到P₂（3.4）．

解答 解：如圖1，過C作CE⊥OA于E，過B作BF⊥OA于F，
∵四邊形OABC是平行四邊形，
∴OA=BC，OA∥BC，
∵A，C的坐標(biāo)分別為（10，0），（2，4），
∴OA=10，OE=AF=2，
∴BC=10，
∵點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，
∴OD=AD=$\frac{1}{2}$OA=5，
（1）設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，四邊形PCDA是平行四邊形，
由題意得：PC=10-2t，
∵四邊形PCDA是平行四邊形，
∴PC=AD，即10-2t=5，
∴t=$\frac{5}{2}$，
∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)$\frac{5}{2}$秒時(shí)，四邊形PCDA是平行四邊形；
∴P（$\frac{9}{2}$，4）；

（2）如圖2，①當(dāng)PD=OD=5時(shí)，過P作PE⊥OA于E，
則PE=4，
∴DE=3，
∴P₁（8，4），
②當(dāng)PD=OP時(shí)，過P作PF⊥OA于F，
則PF=4，OF=$\frac{5}{2}$，
∴P₃（$\frac{5}{2}$，4）；
③當(dāng)PO=OD=5時(shí)，過P作PG⊥OA于G，
則PG=4，
∴OG=3，
∴P₂（3.4），
綜上所述：當(dāng)△ODP是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8，4），（$\frac{5}{2}$，4），（3.4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)世界的推根據(jù)．