Question

13．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，3），B （2，0），C為x軸上點(diǎn)B右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，以AC為腰作等腰△ACD，使AD=AC，∠CAD=∠OAB，直線DB交y軸于點(diǎn)P．
（1）求證：AO=AB；
（2）求證：△AOC≌△ABD；
（3）當(dāng)∠ACO=30°時(shí)，AD=6（直接填寫）；當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P在y軸上的位置是否發(fā)生改變，為什么？

Answer 1

分析 （1）作AE⊥OB于點(diǎn)E，由SAS定理得出△AEO≌△AEB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）先根據(jù)∠CAD=∠OAB，得出∠OAC=∠BAD，再由SAS定理即可得出△AEO≌△AEB；
（3）設(shè)∠AOB=∠ABO=α，由全等三角形的性質(zhì)可得出∠ABD=∠AOB=α，故∠OBP=180°-∠ABO-∠ABD=180°-2α為定值，再由OB=2，∠POB=90°可知OP的長度不變，故可得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖，作AE⊥OB于點(diǎn)E，

∵A（1，3），B（2，0），
∴OE=1，BE=2-1=1，
∴OE=BE，
在△AEO與△AEB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{∠AEO=∠AEB=90°}\\{OE=BE}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△AEB，
∴AO=AB；
（2）∵∠CAD=∠OAB，
∴∠CAD+∠BAC=∠OAB+∠BAC，即∠OAC=∠BAD，
在△AOC與△ABD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{OA=AB}\\{∠OAC=∠BAD}\\{AC=AD}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△ABD（SAS）；
（3）當(dāng)∠ACO=30°時(shí)，AD=6；
點(diǎn)P在y軸上的位置不發(fā)生改變．
理由：設(shè)∠AOB=∠ABO=α，
∵由（2）知，△AOC≌△ABD，
∴∠ABD=∠AOB=α，
∵OB=2，∠OBP=180°-∠ABO-∠ABD=180°-2α為定值，∠POB=90°，
∴OP長度不變．
故答案為：6．

點(diǎn)評 本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，熟知全等三角形的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．