Question

已知：在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線l₁的頂點為（2，-5），且經(jīng)過點（0，-4），先將l₁向上平移5個單位，再向左平移2個單位，得拋物線l₂．設(shè)A、B是拋物線l₂上的兩個動點，橫坐標(biāo)分別為a、b．
（1）求l₂的解析式；
（2）探究：當(dāng)a、b滿足什么關(guān)系時，OA⊥OB？
（3）當(dāng)a、b滿足（2）中的關(guān)系時，求證：直線AB經(jīng)過定點，并求出線段AB長度的最小值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）首先得出拋物線l₂的頂點為（0，0），且過點（-2，1），進(jìn)而得出其解析式即可；
（2）首先作AA′⊥x軸于A′，BB′⊥x軸于B′，得出△OAA′∽△OB′B，進(jìn)而得出ab的關(guān)系；
（3）首先設(shè)直線AB的解析式為：y=mx+n，由

y=mx+n y= 1 4 x2

，得出ab的值，再利用完全平方公式求出AB的最值．

解答：解：（1）點（2，-5）和（0，-4）向上平移5個單位再向左平移2個單位得（0，0）和（-2，1），
所以拋物線l₂的頂點為（0，0），且過點（-2，1）．
設(shè)l₂的解析式為：y=ax²，
則1=4a，解得：a=

1

4

，
所以l₂的解析式為：y=

1

4

x²；

（2）A（a，

a2

4

），B（b，

b2

4

），
作AA′⊥x軸于A′，BB′⊥x軸于B′，
當(dāng)OA⊥OB時，則∠AOA′+∠BOB′=90°，
∵∠BOB′+∠OBB′=90°，
∴∠OBB′=∠AOA′，
又∵∠AA′O=∠BB′O=90°
∴△OAA′∽△OB′B，
∴

AA′

A′O

=

OB′

BB′

∴

a2 4

-a

=

b

b2 4

，
化簡得ab=-16；

（3）設(shè)直線AB的解析式為：y=mx+n，
由

y=mx+n y= 1 4 x2

，
得x²-4mx-4n=0，
因為a，b是這個方程的兩根，
所以ab=-4n，
由（2）得，-4n=-16，
解得：n=4，
所以直線過定點（0，4）．
猜想當(dāng)直線繞定點（0，4）旋轉(zhuǎn)到水平位置時，AB的長度最小，在y=

1

4

x²令y=4，
得x=±4，AB的最小值為8，
證明：
AB²=（a-b）²+（

a2

4

-

b2

4

）²
=

1

16

（a-b）²[16+（a+b）²]
=

1

16

[（a+b）²-4ab][16+（a+b）²]
=

1

16

[（a+b）²+64][16+（a+b）²]
因為（a+b）²≥0，所以當(dāng)a+b=0（此時AB為水平線）時，
（AB²）_最小值=

1

16

×64×16=64，
故AB的最小值為8．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，利用結(jié)合函數(shù)解析式以及完全平方公式得出是解題關(guān)鍵．