Question

9．如圖1所示，一張三角形紙片ABC，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，沿斜邊AB的中線CD把這張紙片剪成△AC₁D₁和△BC₂D₂兩個三角形（如圖2所示）．將紙片△AC₁D₁沿直線D₂B（A→B方向）平移（點A，D₁，D₂，B始終在同一直線上），當D₁與點B重合時，停止平移．在平移的過程中，C₁D₁與BC₂交于點E，AC₁與C₂D₂、BC₂分別交于點F、P．
（1）當△AC₁D₁平移到如圖3所示位置時，猜想D₁E與D₂F的數(shù)量關系，并說明理由．
（2）設平移距離D₂D₁為x，△AC₁D₁和△BC₂D₂重復部分面積為y，請寫出y與x的函數(shù)關系式，以及自變量的取值范圍；
（3）對于（2）中的結論是否存在這樣的x，使得重復部分面積等于原△ABC紙片面積的$\frac{3}{8}$？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據AD₁=BD₂就可以證明AD₂=BD₁，根據等角對等邊證明AD₂=D₂F，D₁E=D₁B即可．
（2）由于△AC₁D₁與△BC₂D₂重疊部分為不規(guī)則圖形，所以將其面積轉化為S_△BC2D2-S_△BED1-S_△FC2P，再求各三角形的面積即可．
（3）先假設存在x的值使得y=$\frac{3}{8}$S_△ABC，再求出△ABC的面積，然后根據（2）所求y=-$\frac{18}{25}$x²+$\frac{24}{5}$x（0≤x≤5）建立等量關系，通過根的判別式來判定是否有這樣的x值存在．

解答 解：（1）D₁E=D₂F．理由如下：
∵C₁D₁∥C₂D₂，
∴∠C₁=∠AFD₂．
又∵∠ACB=90°，CD是斜邊上的中線，
∴DC=DA=DB，即C₁D₁=C₂D₂=BD₂=AD₁
∴∠C₁=∠A，
∴∠AFD₂=∠A
∴AD₂=D₂F．
同理：BD₁=D₁E．
又∵AD₁=BD₂，
∴AD₂=BD₁．
∴D₁E=D₂F．

（2）∵在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，
∴由勾股定理，得AB=10．
即AD₁=BD₂=C₁D₁=C₂D₂=5
又∵D₂D₁=x，
∴D₁E=BD₁=D₂F=AD₂=5-x．
∴C₂F=C₁E=x
在△BC₂D₂中，C₂到BD₂的距離就是△ABC的AB邊上的高，為 $\frac{24}{5}$．
設△BED₁的BD₁邊上的高為h，
由探究，得△BC₂D₂∽△BED₁，
∴$\frac{h}{\frac{24}{5}}$=$\frac{5-x}{5}$．
∴h=$\frac{24（5-x）}{25}$．S_△BED1=$\frac{1}{2}$×BD₁×h=$\frac{12}{25}$（5-x）²
又∵∠C₁+∠C₂=90°，
∴∠FPC₂=90度．
又∵∠C₂=∠B，sinB=$\frac{4}{5}$，cosB=$\frac{3}{5}$．
∴PC₂=$\frac{3}{5}$x，PF=$\frac{4}{5}$x，S_△FC2P=$\frac{1}{2}$PC₂×PF=$\frac{6}{25}$x²
而y=S_△BC2D2-S_△BED1-S_△FC2P=$\frac{1}{2}$S_△ABC-$\frac{12}{25}$（5-x）²-$\frac{6}{25}$x²
∴y=-$\frac{18}{25}$x²+$\frac{24}{5}$x（0≤x≤5）．

（3）不存在．
當y=$\frac{3}{8}$S_△ABC時，即-$\frac{18}{25}$x²+$\frac{24}{5}$x=9，
整理得6x²-40x+75=0．
∵△=1600-4×6×75=-200＜0，
∴該方程無解，即對于（2）中的結論不存在這樣的x，使得重復部分面積等于原△ABC紙片面積的$\frac{3}{8}$．

點評 本題綜合性強，考查圖形的平移、二次函數(shù)解析式的確定以及綜合問題、分析問題、解決問題的能力，考查較全面．同時本題是一道操作性問題，而且是動態(tài)問題，第1小題不難解決，第2小題的一大難點是如何求陰影部分的面積，要注意領會這種整體補形法．