Question

已知，如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)M，N分別在邊AB，DC上，作直線MN，分別交DA和BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，F(xiàn)，且AE=CF．
（1）求證：△AEM≌△CFN；
（2）求證：四邊形BNDM是平行四邊形．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）利用“平行四邊形的對(duì)邊相互平行”和平行線的性質(zhì)易推知∠1=∠3，∠E=∠F，然后結(jié)合已知條件，由AAS證得結(jié)論；
（2）利用（1）中全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等推知AM=CN，則結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)可以得到BM=DN，則“有一組對(duì)邊相互平行且相等的四邊形是平行四邊形”證得結(jié)論．

解答：證明：（1）如圖，∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC即ED∥BF，AB∥DC，
∴∠E=∠F，∠2=∠3．
又∠1=∠2，
∴∠1=∠3．
在△AEM與△CFN中，

∠1=∠3 ∠E=∠F AE=CF

，
∴△AEM≌△CFN（AAS）；

（2）由（1）知：△AEM≌△CFN，則AM=CN．
又∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴AB-AM=CD-CN即MB=ND，MB∥ND，
∴四邊形BNDM是平行四邊形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)．凡是可以用平行四邊形知識(shí)證明的問題，不要再回到用三角形全等證明，應(yīng)直接運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)和判定去解決問題．