Question

已知△AOB和△COD都是等腰直角三角形，AO=BO，CO=DO，△AOB可繞著點O順時針旋轉．

（1）如圖1，當點A、O、D在同一直線上時，請指出下列關系：
①AB與CD：

 

；
②AC與BD：

 

．
（2）若△AOB旋轉到圖2、圖3位置時，上述哪些關系還成立嗎？若成立，請選擇一個圖形給予證明．若都不成立，請說明理由．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,等腰直角三角形,旋轉的性質

專題：

分析：（1）①延長AB交CD于E，根據(jù)等腰直角三角形的性質可得∠ABO=45°，∠OCD=45°，再根據(jù)三角形內角和定理可得∠CEB=90°，進而得到AB⊥CD；
②證明△AOC≌△BOD可得AC=BD；
（2）AC=BD成立，AB⊥CD不成立；①延長AB、OB交CD于E、F，根據(jù)三角形內角與外角的關系可得∠OFD=∠OCD+∠COF＞45°，可證明∠AEC≠90°；
②證明△AOC≌△BOD可得AC=BD．

解答：解：（1）AB⊥CD，AC=BD，
①延長AB交CD于E，
∵△AOB和△COD都是等腰直角三角形，
∴∠ABO=45°，∠OCD=45°，
∵∠CBE=∠ABO=45°，
∴∠CEB=180°-45°-45°=90°，
∴AB⊥CD；

②∵△AOB和△COD都是等腰直角三角形，
∴∠AOB=∠BOD=90°，
在△AOC和△BOD中

AO=BO ∠AOB=∠BOD CO=DO

，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC=BD；


（2）AC=BD成立，AB⊥CD不成立，
①延長AB、OB交CD于E、F，
∵△AOB和△COD都是等腰直角三角形，
∴∠ABO=45°，∠OCD=45°，
∴∠FBE=∠ABO=45°，
∵∠OFD=∠OCD+∠COF＞45°，
∴∠AEC=180°-45°-∠OFD≠90°，
∴AB⊥CD不成立；

②∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠BOD．
∵△OAB與△COD均為等腰三角形，
∴OA=OB，OC=OD．
在△AOC和△BOD中

AO=BO ∠AOB=∠BOD CO=DO

，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC=BD．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質，以及等腰直角三角形的性質，關鍵是掌握全等三角形的判定方法．