Question

在等腰△ABC中，∠ACB=90°，且AC=1．過點(diǎn)C作直線l∥AB，P為直線l上一點(diǎn)，且AP=AB．則點(diǎn)P到BC所在直線的距離是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：等腰直角三角形,平行線之間的距離,含30度角的直角三角形

專題：

分析：延長AC，做PD⊥BC交點(diǎn)為D，PE⊥AC，交點(diǎn)為E，可得四邊形CDPE是正方形，則CD=DP=PE=EC；等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，所以，可求出AC=1，AB=

2

，又AB=AP；所以，在直角△AEP中，可運(yùn)用勾股定理求得DP的長即為點(diǎn)P到BC的距離．

解答：解：①如圖1，延長AC，做PD⊥BC交點(diǎn)為D，PE⊥AC，交點(diǎn)為E，
∵CP∥AB，
∴∠PCD=∠CBA=45°，
∴四邊形CDPE是正方形，
則CD=DP=PE=EC，
∵在等腰直角△ABC中，AC=BC=1，AB=AP，
∴AB=

12+12

=

2

，
∴AP=

2

；
∴在直角△AEP中，（1+EC）²+EP²=AP²
∴（1+DP）²+DP²=（

2

）²，
解得，DP=

3 -1

2

；

②如圖2，延長BC，作PD⊥BC，交點(diǎn)為D，延長CA，作PE⊥CA于點(diǎn)E，
同理可證，四邊形CDPE是正方形，
∴CD=DP=PE=EC，
同理可得，在直角△AEP中，（EC-1）²+EP²=AP²，
∴（PD-1）²+PD²=（

2

）²，
解得，PD=

3 +1

2

；
故DP=

3 -1

2

或

3 +1

2

．

點(diǎn)評：本題考查的是等腰直角三角形及勾股定理的運(yùn)用，通過添加輔助線，可將問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中，利用勾股定理解答；考查了學(xué)生的空間想象能力．