Question

已知拋物線y=

1

4

x²，點M （0，1）關(guān)于x軸的對稱點為N，直線l過點M交拋物線于A，B兩點
（1）證明：若設(shè)直線NA為y=k₁x+b₁，直線NB為y=k₂x+b₂，求證：k₁+k₂=0；
（2）求△ANB面積的最小值；
（3）當點M的坐標為（0，m）（m＞0，且m≠1），根據(jù)（1）（2）推測并回答下列問題（不必說明理由）：
①k₁+k₂=0是否成立？
②△ANB面積的最小值是多少？

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）設(shè)直線l的解析式為y=kx+1，聯(lián)立拋物線解析式求出點A、B的坐標，再根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點的縱坐標相等求出點N的坐標，然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出k₁、k₂，再求出k₁+k₂=0即可；
（2）根據(jù)S_△ANB=S_△ANM+S_△BNM列式整理，再根據(jù)平方數(shù)非負數(shù)的性質(zhì)求解即可；
（3）根據(jù)（1）（2）的解答，把點M（0，1）換成（0，m）解答即可．

解答：解：（1）∵直線l經(jīng)過點M（0，1），
∴設(shè)直線l的解析式為y=kx+1，
聯(lián)立

y=kx+1 y= 1 4 x2

，
解得

x1=2k-2 k2+1 y1=2k2-2k k2+1 +1

，

x2=2k+2 k2+1 y2=2k2+2k k2+1 +1

，
∴點A（2k-2

k2+1

，2k²-2k

k2+1

+1），B（2k+2

k2+1

，2k²+2k

k2+1

），
∵點M（0，1）與點N關(guān)于x軸對稱，
∴N（0，-1），
∴

k1(2k-2 k2+1 )+b1=2k2-2k k2+1 +1 b1=-1

，
解得k₁=k+

1

k- k2+1

，
同理，k₂=k+

1

k+ k2+1

，
∴k₁+k₂=k+

1

k- k2+1

+k+

1

k+ k2+1

=2k+

k+ k2+1 +k- k2+1

(k- k2+1 )(k+ k2+1 )

=2k-2k=0，
即k₁+k₂=0；

（2）∵M（0，1），N（0，-1），
∴MN=1-（-1）=1+1=2，
S_△ANB=S_△ANM+S_△BNM，
=

1

2

×2×（2

k2+1

-2k+2k+2

k2+1

），
=4

k2+1

，
∵k²≥0，
∴當k=0，即AB∥x軸時，△ANB面積的最小，最小值是4；

（3）①k₁+k₂=0成立；
②△ANB面積的最小值是4m

m

．
理由如下：∵直線l經(jīng)過點M（0，m），
∴設(shè)直線l的解析式為y=kx+m，
聯(lián)立

y=kx+m y= 1 4 x2

，
解得

x1=2k-2 k2+m y1=2k2-2k k2+m +m

，

x2=2k+2 k2+m y2=2k2+2k k2+m +m

，
∴點A（2k-2

k2+m

，2k²-2k

k2+m

+m），B（2k+2

k2+m

，2k²+2k

k2+m

+m），
∵點M（0，m）與點N關(guān)于x軸對稱，
∴N（0，-m），
∴

k1(2k-2 k2+m )+b1=2k2-2k k2+m +m b1=-m

，
解得k₁=k+

m

k- k2+m

，
同理，k₂=k+

m

k+ k2+m

，
∴k₁+k₂=k+

m

k- k2+m

+k+

m

k+ k2+m

=2k+

m(k+ k2+m +k- k2+m )

(k- k2+m )(k+ k2+m )

=2k-2k=0；
②∵M（0，m），N（0，-m），
∴MN=m-（-m）=m+m=2m，
S_△ANB=S_△ANM+S_△BNM，
=

1

2

×2m×（2

k2+m

-2k+2k+2

k2+m

），
=4m

k2+m

，
∵k²≥0，
∴當k=0，即AB∥x軸時，△ANB面積的最小，最小值是4m

m

．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點坐標的方法，三角形的面積，平方數(shù)非負數(shù)的性質(zhì)，運算過程非常麻煩，計算時要認真仔細．