【題目】如圖,點C在以AB為半徑的半圓上,AB=8,CBA=30°,點D在線段AB上運動,點E與點D

關(guān)AC對稱,DFDE于點D,并交EC的延長線與點F.下列結(jié)論:①CECF;②線段EF的最小值為2

③當AD=2時,EF與半圓相切;④當點D從點A運動到點B時,線段EF掃過的面積是16.其中正

確的結(jié)論()

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】

(1)由點E與點D關(guān)于AC對稱可得CE=CD,再根據(jù)DFDE即可證到CE=CF.
(2)根據(jù)點到直線之間,垂線段最短可得CDABCD最小,由于EF=2CD,求出CD的最小值就可求出EF的最小值.
(3)連接OC,易證AOC是等邊三角形,AD=OD,根據(jù)等腰三角形的三線合一可求出∠ACD,進而可求出∠ECO=90°,從而得到EF與半圓相切.
(4)利用相似三角形的判定與性質(zhì)可證到DBF是等邊三角形,只需求出BF就可求出DB,進而求出AD長.
(5)首先根據(jù)對稱性確定線段EF掃過的圖形,然后探究出該圖形與ABC的關(guān)系,就可求出線段EF掃過的面積.

CD,如圖1所示.


∵點E與點D關(guān)于AC對稱,
CE=CD.
∴∠E=CDE.
DFDE,
∴∠EDF=90°.
∴∠E+F=90°,CDE+CDF=90°.
∴∠F=CDF.
CD=CF.
CE=CD=CF.
∴結(jié)論“CE=CF”正確.

②當CDAB時,如圖2所示.


AB是半圓的直徑,
∴∠ACB=90°.
AB=8,CBA=30°,
∴∠CAB=60°,AC=4,BC=4
CDAB,CBA=30°,
CD=BC=2
根據(jù)點到直線之間,垂線段最短可得:
D在線段AB上運動時,CD的最小值為2
CE=CD=CF,
EF=2CD.
∴線段EF的最小值為4
∴結(jié)論線段EF的最小值為2錯誤.

③當AD=2時,連接OC,如圖3所示.


OA=OC,CAB=60°,
∴△OAC是等邊三角形.
CA=CO,ACO=60°.
AO=4,AD=2,
DO=2.
AD=DO.
∴∠ACD=OCD=30°.
∵點E與點D關(guān)于AC對稱,
∴∠ECA=DCA.
∴∠ECA=30°.
∴∠ECO=90°.
OCEF.
EF經(jīng)過半徑OC的外端,且OCEF,
EF與半圓相切.
∴結(jié)論“EF與半圓相切正確.

④當點F恰好落在

上時,連接FB、AF,如圖4所示


∵點E與點D關(guān)于AC對稱,
EDAC.
∴∠AGD=90°.
∴∠AGD=ACB.
EDBC.
∴△FHC∽△FDE.

FC=EF,
FH=FD.
FH=DH.
DEBC,
∴∠FHC=FDE=90°.
BF=BD.
∴∠FBH=DBH=30°.
∴∠FBD=60°.
AB是半圓的直徑,
∴∠AFB=90°.
∴∠FAB=30°.
FB=AB=4.
DB=4.
AD=AB-DB=4.
∴結(jié)論“AD=2錯誤.

⑤如圖所示:

∵點D與點E關(guān)于AC對稱,
D與點F關(guān)于BC對稱,
∴當點D從點A運動到點B時,
E的運動路徑AMAB關(guān)于AC對稱,
F的運動路徑NBAB關(guān)于BC對稱.
EF掃過的圖形就是圖5中陰影部分.
S陰影=2SABC
=2×ACBC
=ACBC
=4×4
=16
EF掃過的面積為16
∴結(jié)論“EF掃過的面積為16正確.

所以①、、⑤正確,共計3.

故選:C.

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