Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)是軸正半軸上的一點(diǎn)，，點(diǎn)在對(duì)稱軸左側(cè)的拋物線上運(yùn)動(dòng)，直線交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)，連接，當(dāng)平分時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）直線交對(duì)稱軸于點(diǎn)，是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)與全等時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3），，，．

【解析】

（1）用待定系數(shù)法，直接將AB代入解析式即可求解．
（2）由MN平分∠OMD，MD平行ON即可求出OM=ON=，繼而得出N點(diǎn)坐標(biāo)，由直線ON解析式即可求出與拋物線交點(diǎn)坐標(biāo)Q即可．
（3）由BCD三點(diǎn)的坐標(biāo)可得△BCD三角形三邊長(zhǎng)，由CE坐標(biāo)可得，△PCE和△ACD中CD=CE，則另兩組邊對(duì)應(yīng)相等即可，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y）；利用勾股定理即列方程求解．

解：（1）∵拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，

∴解得：

∴拋物線的解析式為：．

（2）設(shè)對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)，

∵平分，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴．

在中，，．

∴，

∴；．

①當(dāng)時(shí)，直線解析式為：，

依題意得：．

解得：，．

∵點(diǎn)在對(duì)稱軸左側(cè)的拋物線上運(yùn)動(dòng)，

∴點(diǎn)縱坐標(biāo)．

∴；

②當(dāng)時(shí)，直線解析式為：，同理可求：

．

綜上所述：點(diǎn)的坐標(biāo)為：

，

（3）若與全等，點(diǎn)有四個(gè)，坐標(biāo)為，，，．

由題意可知：，，，B（1，0），

，，，

直線AC經(jīng)過，，設(shè)AC的解析式為y=kx+b，

將A和C代入，得，解得：，

直線AC解析式為，

拋物線對(duì)稱軸為，而直線AC交對(duì)稱軸于點(diǎn)，

坐標(biāo)為；

，

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，

則，

則，

，若與全等，有兩種情況，

Ⅰ．，，即．

，

解得：，，

即點(diǎn)坐標(biāo)為，．

Ⅱ．，，即．

，

解得：，，

即點(diǎn)坐標(biāo)為，．

故若△PCE與△ACD全等，P點(diǎn)有四個(gè)，坐標(biāo)為，，，．