Question

（1）如圖，順次連接正方形ABCD的各邊中點，得到一個小正方形EFGH．則正方形EFGH與正方形ABCD的面積比是多少？
（2）依次連接矩形、菱形和平行四邊形的各邊中點，所得四邊形與原四邊形的面積比是多少？
（3）對于任意四邊形，是否也有類似結(jié)論？

Answer 1

考點：中點四邊形

專題：

分析：（1）根據(jù)已知可求得ABCD的邊長及對角線的長，根據(jù)中位線的性質(zhì)可得到EFGH的邊長，從而可求得其面積．
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)、矩形的判定定理可以證得四邊形EFGH是矩形．由三角形中位線定理和矩形的面積公式進行填空．

解答：解：（1）如圖1，連接AC、BD．
∵點E、F分別是AB、BC邊上的中點，
∴EF是△ABC的中位線，
∴EF=

1

2

AC，且EF∥AC．
同理，HG=

1

2

AC，且HG∥AC，
∴EF=HG，且EF∥HG，
∴四邊形EFGH是平行四邊形．
∴EH∥FG，EH=FG=

1

2

BD．
又∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∴EF⊥EH，
∴S_{四邊形EFGH}=EF•EH=

1

2

BD•

1

2

AC=

1

2

S_{正方形ABCD}．
∴S_{四邊形EFGH}：S_{正方形ABCD}=1：2．即正方形EFGH與正方形ABCD的面積比是1：2；

（2）如圖2，依次連接菱形的各邊中點．
∵點E、F分別是AB、BC邊上的中點，
∴EF是△ABC的中位線，
∴EF=

1

2

AC，且EF∥AC．
同理，HG=

1

2

AC，且HG∥AC，
∴EF=HG，且EF∥HG，
∴四邊形EFGH是平行四邊形．
∴EH∥FG，EH=FG=

1

2

BD．
又∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴EF⊥EH，
∴S_{四邊形EFGH}=EF•EH=

1

2

BD•

1

2

AC=

1

2

S_{正方形ABCD}．
同理，依次連接矩形和平行四邊形的各邊中點，所得四邊形與原四邊形的面積比是1：2．

（3）由（2）得，對于任意四邊形，依次連接四邊形的各邊中點，所得四邊形與原四邊形的面積比是1：2．

點評：本題考查了中點四邊形．解答該時，利用了三角形中位線定理，菱形的對角線互相垂直平分的性質(zhì)，以及矩形的判定與性質(zhì)．