【題目】已知一次函數(shù)y=x+4的圖象與二次函數(shù)y=ax(x﹣2)的圖象相交于A(﹣1,b)和B,點P是線段AB上的動點(不與A、B重合),過點P作PC⊥x軸,與二次函數(shù)y=ax(x﹣2)的圖象交于點C.

(1)求a、b的值
(2)求線段PC長的最大值;
(3)若△PAC為直角三角形,請直接寫出點P的坐標.

【答案】
(1)解:∵A(﹣1,b)在直線y=x+4上,

∴b=﹣1+4=3,

∴A(﹣1,3).

又∵A(﹣1,3)在拋物線y=ax(x﹣2)上,

∴3=﹣a(﹣1﹣2),

解得:a=1.


(2)解:設P(m,m+4),則C(m,m2﹣2m).

∴PC=(m+4)﹣(m2﹣2m)

=﹣m2+3m+4

=﹣(m﹣ 2+

∵(m﹣ 2≥0,

∴﹣(m﹣ 2+

∴當m= 時,PC有最大值,最大值為


(3)解:如圖

P(m,m+4),C(m,m2﹣2m),

AP2=(m+1)2+(m+4﹣3)2=2(m+1)2,AC2=(m+1)2+(m2﹣2m﹣3)2,PC2=(﹣m2+3m+4)2

①當AP2+AC2=PC2時,即2(m+1)2+(m+1)2+(m2﹣2m﹣3)2=(﹣m2+3m+4)2

3(m+1)2+[(m2﹣2m﹣3)2﹣(﹣m2+3m+4)2]=0

化簡,得(m+1)(m+1)(m﹣2)=0,

解得m=﹣1(不符合題意,舍),m=2,

當m=2時,m+4=6,即P(2,6);

②當AP2=AC2+PC2時,即2(m+1)2=(m+1)2+(m2﹣2m﹣3)2+(﹣m2+3m+4)2,

化簡,得

(m﹣4)(m+1)(m+1)(m﹣3)=0.

解得m=4(不符合題意,舍),m=﹣1(不符合題意,舍),m=3,

當m=3時,m+4=7,

即(3,7),

綜上所述:若△PAC為直角三角形,點P的坐標為P1(2,6),P2(3,7).


【解析】(1)由A(﹣1,b)在直線y=x+4上,求出b的值,得到A點坐標,再代入二次函數(shù)的解析式,求出a的值;(2)由點P在一次函數(shù)y=x+4的圖象上得到P點的坐標與C點坐標的代數(shù)式,根據(jù)兩點間的距離公式得到PC的最大值;(3)由(2)中的P、C點坐標的代數(shù)式,再根據(jù)勾股定理求出m的值,求出若△PAC為直角三角形,點P的坐標;此題是綜合題,難度較大,計算和解方程時需認真仔細.

練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,平行四邊形ABCD在平面直角坐標系中,AD=6,若OA、OB的長是關于 的一元二次方程 的兩個根,且OA>OB

(1)求cos∠ABC的值。
(2)若E為x軸上的點,且 ,求出點E的坐標,并判斷△AOE與△DAO是否相似?請說明理由

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】計算題
(1)解方程:(x+1)2=9;
(2)解方程:x2﹣4x+2=0.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某中學七班共有45人,該班計劃為每名學生購買一套學具,超市現(xiàn)有A、B兩種品牌學具可供選擇已知1A學具和1B學具的售價為45元;2A學具和5B學具的售價為150元.

、B兩種學具每套的售價分別是多少元?

現(xiàn)在商店規(guī)定,若一次性購買A型學具超過20套,則超出部分按原價的6折出售設購買A型學具a且不超過30套,購買A、B兩種型號的學具共花費w元.

請寫出wa的函數(shù)關系式;

請幫忙設計最省錢的購買方案,并求出所需費用.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】為慶祝中華人民共和國七十周年華誕,某校舉行書畫大賽,準備購買甲、乙兩種文具,獎勵在活動中表現(xiàn)優(yōu)秀的師生.已知購買個甲種文具、個乙種文具共需花費元;購買個甲種文具、個乙種文具共需花費元.

1)求購買一個甲種文具、一個乙種文具各需多少元?

2)若學校計劃購買這兩種文具共個,投入資金不少于元又不多于元,設購買甲種文具個,求有多少種購買方案?

3)設學校投入資金元,在(2)的條件下,哪種購買方案需要的資金最少?最少資金是多少元?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】完成下列推理過程

已知:∠C+CBD=180°,∠ABD=85°,∠2=60°,求∠A的度數(shù).

解:∵∠C+CBD=180°(已知)

DBCE

∴∠1 ( )

∵∠2=∠3

∴∠1=∠2=60° ( )

又∵ ABD=85°(已知)

∴∠A180°-ABD-1= (三角形三內角和為180°)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在中,,若有一動點出發(fā),沿勻速運動,則的長度與時間之間的關系用圖像表示大致是(

A.B.

C.D.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】一個不透明的口袋中裝有4個完全相同的小球,分別標有數(shù)字1,2,3,4,另有一個可以自由旋轉的圓盤.被分成面積相等的3個扇形區(qū),分別標有數(shù)字1,2,3(如圖所示).小穎和小亮想通過游戲來決定誰代表學校參加歌詠比賽,游戲規(guī)則為:一人從口袋中摸出一個小球,另一個人轉動圓盤,如果所摸球上的數(shù)字與圓盤上轉出數(shù)字之和小于4,那么小穎去;否則小亮去.

(1)用樹狀圖或列表法求出小穎參加比賽的概率;
(2)你認為該游戲公平嗎?請說明理由;若不公平,請修改該游戲規(guī)則,使游戲公平.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】一輛汽車開往距離出發(fā)地的目的地,出發(fā)后第一個小時內按原計劃的速度勻速行駛,一小時后以原來速度的1.5倍勻速行駛,并比原計劃提前到達目的地,設第一個小時內行駛的速度為

1)求汽車實際走完全程所花的時間

2)若按原路返回,司機準備一半路程以的速度行駛,另一半路程以的速度行駛,朋友建議他一半時間以的速度行駛,另一半時間以的速度行駛,你覺得誰的方案會更快?請說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案