Question

【題目】（問題）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，過點C作直線l平行于AB．∠EDF＝90°，點D在直線L上移動，角的一邊DE始終經(jīng)過點B，另一邊DF與AC交于點P，研究DP和DB的數(shù)量關(guān)系．

（探究發(fā)現(xiàn)）（1）如圖2，某數(shù)學(xué)興趣小組運(yùn)用從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，發(fā)現(xiàn)當(dāng)點D移動到使點P與點C重合時，通過推理就可以得到DP＝DB，請寫出證明過程；

（數(shù)學(xué)思考）（2）如圖3，若點P是AC上的任意一點（不含端點A、C），受（1）的啟發(fā)，這個小組過點D作DG⊥CD交BC于點G，就可以證明DP＝DB，請完成證明過程．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠CAB=∠CBA=45°，由平行線的性質(zhì)可得∠CBA=∠DCB=45°，即可證DB=DP；（2）通過證明△CDP≌△GDB，可得DP=DB．

證明：（1）如圖2

∵∠ACB＝90°，AC＝BC

∴∠CAB＝∠CBA＝45°

∵CD∥AB

∴∠CBA＝∠DCB＝45°，且BD⊥CD

∴∠DCB＝∠DBC＝45°

∴DB＝DC

即DP＝DB；

（2）如圖3

∵DG⊥CD，∠DCB＝45°

∴∠DCG＝∠DGC＝45°

∴DC＝DG，∠DCP＝∠DGB＝135°，

∵∠BDP＝∠CDG＝90°

∴∠CDP＝∠BDG

在△CDP和△GDB中，

∴△CDP≌△GDB（ASA）

∴DP＝DB．