Question

【題目】如圖，△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于G，DM∥BC交∠ABC的外角平分線于M，交AB、AC于F、E，下列結論：①MB⊥BD；②FD＝FB；③MD＝2CE．其中一定正確的是_____．（只填寫序號）

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

根據角平分線的定義即可證出∠MBD＝90°，從而證出①；根據角平分線、平行線和等腰三角形的關系即可證出②；同理可證MF＝BF，根據等邊對等角即可證出：∠ABC＝∠ACB，然后根據平行線的性質可得：∠AFE＝∠ABC，∠AEF＝∠ACB，從而證出∠AFE＝∠AEF，再根據等角對等邊即可證出AF＝AE，從而證出BF＝CE，即可證出③．

解：如圖，∵BD、BM分別是∠ABC及其外角的平分線，

∴∠MBD＝∠MBA＋∠DBA=∠NBA＋∠CBA=（∠NBA＋∠CBA）=∠NBC=×180°＝90°，

故MB⊥BD，故①成立；

∵DF∥BC，

∴∠FDB＝∠DBC；

∵∠FBD＝∠DBC，

∴∠FBD＝∠FDB，

∴FD＝BF，故②成立；

同理可證MF＝BF，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∵DM∥BC，

∴∠AFE＝∠ABC，∠AEF＝∠ACB，

∴∠AFE＝∠AEF

∴AF＝AE，且AB＝AC，

∴BF＝CE，

∵DF＝BF，MF＝BF

∴MF＝DF

∵∠DBM＝90°，MF＝DF，

∴BF＝DM，而CE＝BF，

∴CE＝DM，③成立．

故答案為：①②③．