【題目】旋轉(zhuǎn)變換是解決數(shù)學(xué)問題中一種重要的思想方法,通過旋轉(zhuǎn)變換可以將分散的條件集中到一起,從而方便解決問題.
已知,△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,點(diǎn)D、E在邊BC上,且∠DAE=α.
(1)如圖1,當(dāng)α=60°時(shí),將△AEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到△AFB的位置,連接DF,
①求∠DAF的度數(shù);
②求證:△ADE≌△ADF;
(2)如圖2,當(dāng)α=90°時(shí),猜想BD、DE、CE的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(3)如圖3,當(dāng)α=120°,BD=4,CE=5時(shí),請(qǐng)直接寫出DE的長(zhǎng)為 .
【答案】(1)①30°②見解析(2)BD2+CE2=DE2(3)
【解析】
(1)①利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠FAB=∠CAE,再用角的和即可得出結(jié)論;②利用SAS判斷出△ADE≌△ADF,即可得出結(jié)論;
(2)先判斷出BF=CE,∠ABF=∠ACB,再判斷出∠DBF=90°,即可得出結(jié)論;
(3)同(2)的方法判斷出∠DBF=60°,再用含30度角的直角三角形求出BM,FM,最后用勾股定理即可得出結(jié)論.
解:(1)①由旋轉(zhuǎn)得,∠FAB=∠CAE,
∵∠BAD+∠CAE=∠BAC﹣∠DAE=60°﹣30°=30°,
∴∠DAF=∠BAD+∠BAF=∠BAD+∠CAE=30°;
②由旋轉(zhuǎn)知,AF=AE,∠BAF=∠CAE,
∴∠BAF+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC﹣∠DAE=∠DAE,
在△ADE和△ADF中,,
∴△ADE≌△ADF(SAS);
(2)BD2+CE2=DE2,
理由:如圖2,將△AEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△AFB的位置,連接DF,
∴BF=CE,∠ABF=∠ACB,
由(1)知,△ADE≌△ADF,
∴DE=DF,
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠ABC=∠ACB=45°,
∴∠DBF=∠ABC+∠ABF=∠ABC+∠ACB=90°,
根據(jù)勾股定理得,BD2+BF2=DF2,
即:BD2+CE2=DE2;
(3)如圖3,將△AEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△AFB的位置,連接DF,
∴BF=CE,∠ABF=∠ACB,
由(1)知,△ADE≌△ADF,
∴DE=DF,BF=CE=5,
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠ABC=∠ACB=30°,
∴∠DBF=∠ABC+∠ABF=∠ABC+∠ACB=60°,
過點(diǎn)F作FM⊥BC于M,
在Rt△BMF中,∠BFM=90°﹣∠DBF=30°,
BF=5,
∴,
∵BD=4,
∴DM=BD﹣BM=,
根據(jù)勾股定理得, ,
∴DE=DF=,
故答案為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將分別標(biāo)有數(shù)字1,6,8的三張卡片(卡片除所標(biāo)注數(shù)字外其他均相同)洗勻后,背面朝上放在桌面上.
(1)隨機(jī)抽取一張卡片,抽到的卡片所標(biāo)數(shù)字是偶數(shù)的概率為 ;
(2)隨機(jī)抽取一張卡片,將卡片上標(biāo)有的數(shù)字作為十位上的數(shù)字(不放回),再隨機(jī)抽取一張卡片,將卡片上標(biāo)有的數(shù)字作為個(gè)位上的數(shù)字,用列表或畫樹狀圖的方法求組成的兩位數(shù)恰好是“68”的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校為了解今年九年級(jí)學(xué)生足球運(yùn)球的掌握情況,隨機(jī)抽取部分九年級(jí)學(xué)生足球運(yùn)球的測(cè)試成績(jī)作為一個(gè)樣本,按A,B,C,D四個(gè)等級(jí)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),制成了如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖.
根據(jù)所給信息,解答以下問題:
(1)在這次調(diào)查中一共抽取了 名學(xué)生;
(2)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,C對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角是 度;
(3)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(4)所抽取學(xué)生的足球運(yùn)球測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)落在 等級(jí);
(5)該校九年級(jí)有300名學(xué)生,請(qǐng)估計(jì)足球運(yùn)球測(cè)試成績(jī)達(dá)到A級(jí)的學(xué)生有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】深圳某學(xué)校為構(gòu)建書香校園,擬購進(jìn)甲、乙兩種規(guī)格的書柜放置新購置的圖書.已知每個(gè)甲種書柜的進(jìn)價(jià)比每個(gè)乙種書柜的進(jìn)價(jià)高20%,用3600元購進(jìn)的甲種書柜的數(shù)量比用4200元購進(jìn)的乙種書柜的數(shù)量少4臺(tái).
(1)求甲、乙兩種書柜的進(jìn)價(jià);
(2)若該校擬購進(jìn)這兩種規(guī)格的書柜共60個(gè),其中乙種書柜的數(shù)量不大于甲種書柜數(shù)量的2倍.請(qǐng)您幫該校設(shè)計(jì)一種購買方案,使得花費(fèi)最少.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,AB=10cm,cosB=點(diǎn)M、N分別是邊BC和AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)M以2cm/s的速度沿C→B方向運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)N以1cm/s的速度沿A→C方向運(yùn)動(dòng),當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,四邊形ABMN的面積為S,則下列能大致反映S與t函數(shù)關(guān)系的圖象是( 。
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,E、F是正方形ABCD對(duì)角線AC上的兩點(diǎn),且,連接BE、DE、BF、DF.
求證:四邊形BEDF是菱形:
求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,AB=AC,CO的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)D.
(1)求證:AO平分∠BAC;
(2)若BC=6,sin∠BAC=,求AC和CD的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,E、F、G、H分別為矩形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn),連接AC、HE、EC,GA,GF.已知AG⊥GF,AC=,則AB的長(zhǎng)為__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)需完成A、B兩個(gè)工地的工程.若甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)分別可提供40個(gè)和50個(gè)標(biāo)準(zhǔn)工作量,完成A、B兩個(gè)工地的工程分別需要70個(gè)和20個(gè)標(biāo)準(zhǔn)工作量,且兩個(gè)工程隊(duì)在A、B兩個(gè)工地的1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)工作量的成本如下表所示:
A工地 | B工地 | |
甲工程隊(duì) | 800元 | 750元 |
乙工程隊(duì) | 600元 | 570元 |
設(shè)甲工程隊(duì)在A工地投入x(20≤x≤40)個(gè)標(biāo)準(zhǔn)工作量,完成這兩個(gè)工程共需成本y元.
(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)請(qǐng)判斷y是否能等于62000,并說明理由.
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