Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC=1，BC= ，在AC邊上截取AD=BC，連接BD．

（1）通過(guò)計(jì)算，判斷AD2與ACCD的大小關(guān)系；
（2）求∠ABD的度數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵AB=BC=1，BC= ，

∴AD= ，DC=1﹣ = ．

∴AD2= = ，ACCD=1× = ．

∴AD2=ACCD

（2）

解：∵AD=BD，AD2=ACCD，

∴BD2=ACCD，即 ．

又∵∠C=∠C，

∴△BCD∽△ABC．

∴ ，∠DBC=∠A．

∴DB=CB=AD．

∴∠A=∠ABD，∠C=∠D．

設(shè)∠A=x，則∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x．

∵∠A+∠ABC+∠C=180°，

∴x+2x+2x=180°．

解得：x=36°．

∴∠ABD=36°

【解析】（1）先求得AD、CD的長(zhǎng)，然后再計(jì)算出AD2與ACCD的值，從而可得到AD2與ACCD的關(guān)系；（2）由（1）可得到BD2=ACCD，然后依據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例且?jiàn)A角相等的兩三角形相似證明△BCD∽△ABC，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)可知∠DBC=∠A，DB=CB，然后結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理可求得∠ABD的度數(shù)．本題主要考查的是相似三角形的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，證得△BCD∽△ABC是解題的關(guān)鍵．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解相似三角形的判定的相關(guān)知識(shí)，掌握相似三角形的判定方法:兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似（ASA）；直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似； 兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似（SAS）；三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似（SSS）．