Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若P和Q兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，則稱點(diǎn)P與點(diǎn)Q是一個(gè)“和諧點(diǎn)對”，表示為[P，Q]，比如[P（1，2），Q（﹣1，﹣2）]是一個(gè)“和諧點(diǎn)對”．

（1）寫出反比例函數(shù)y＝圖象上的一個(gè)“和諧點(diǎn)對”；

（2）已知二次函數(shù)y＝x2+mx+n，

①若此函數(shù)圖象上存在一個(gè)和諧點(diǎn)對[A，B]，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，4），求m，n的值；

②在①的條件下，在y軸上取一點(diǎn)M（0，b），當(dāng)∠AMB為銳角時(shí)，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）可取[P（1，1），Q（﹣1，﹣1）]；（2）①m=2,n=-4；②b的取值范圍為或．

【解析】

（1）由題目中所給和諧點(diǎn)對的定義可知P、Q即為關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)點(diǎn)，在反比例函數(shù)圖象上找出兩點(diǎn)即可；

（2）①由A、B為和諧點(diǎn)對可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，則可得到關(guān)于m、n的方程組，可求得其值；②當(dāng)M在x軸上方時(shí)，可先求得∠AMB為直角時(shí)對應(yīng)的M點(diǎn)的坐標(biāo)，當(dāng)點(diǎn)M向上運(yùn)動時(shí)滿足∠AMB為銳角；當(dāng)點(diǎn)M在x軸下方時(shí)，同理可求得b的取值范圍．

解：（1）∵y＝，

∴可取[P（1，1），Q（﹣1，﹣1）]；

（2）①∵A（2，4）且A和B為和諧點(diǎn)對，

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣4），

將A和B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y＝x2+mx+n，可得，

∴；

②如圖：

（ⅰ） M點(diǎn)在x軸上方時(shí)，

若∠AMB 為直角（M點(diǎn)在x軸上），則△ABC為直角三角形，

∵A（2，4）且A和B為和諧點(diǎn)對，B點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣4），

∴原點(diǎn)O在AB線段上且O為AB中點(diǎn)，

∴AB＝2OA，

∵A（2，4），

∴OA＝，

∴AB＝，

在Rt△ABC中，

∵O為AB中點(diǎn)

∴MO＝OA＝，

若∠AMB 為銳角，則；

（ⅱ） M點(diǎn)在x軸下方時(shí)，同理可得， ，

綜上所述，b的取值范圍為：或．