Question

如圖，已知AB為半圓O的直徑，直線MN切半圓于點C，AD⊥MN于點D，BE⊥MN于點E，BE交半圓于點F，AD=3cm，BE=7cm．
（1）求⊙O的半徑；
（2）求線段DE的長．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),梯形中位線定理

專題：

分析：（1）連結(jié)OC，根據(jù)切線的性質(zhì)求得OC⊥MN，進而求得AD∥OC∥BE，從而根據(jù)梯形中位線的性質(zhì)即可求得；
（2）連結(jié)AF，先求得四邊形ADEF為矩形，然后根據(jù)勾股定理即可求得線段DE的長．

解答：解：（1）連結(jié)OC
∵MN切半圓于點C
∴OC⊥MN
∵AD⊥MN，BE⊥MN
∴AD∥OC∥BE
∵OA=OB
∴OC為梯形ADEB的中位線
∴OC=

1

2

（AD+BE）=5cm
所以⊙O的半徑為5cm
（2）連結(jié)AF，
∵AB為半圓O的直徑
∴∠AFB=90°．
∴∠AFE=90°
又∠ADE=∠DEF=90°
∴四邊形ADEF為矩形
∴DE=AF，AD=EF=3cm
在Rt△ABF中，BF=BE-EF=4cm，AB=2OC=10cm，
∵AF=

AB2-BF2

=

102-42

=2

21

∴DE=2

21

cm．

點評：本題考查了圓的切線的性質(zhì)，圓周角定理以及勾股定理的應用等，證得OC是梯形的中位線是本題的關鍵．