Question

如圖，已知拋物線y=-x²-4x+k的圖象，與x軸交于A，C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B（0，5），點(diǎn)M（a，0）在x軸上運(yùn)動(dòng)．
（1）求k的值．
（2）當(dāng)△ABM為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（3）當(dāng)a為何值時(shí)，以AC的長(zhǎng)為直徑的⊙M與直線BC相切，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）直接利用B（0，5），代入解析式求出即可；
（2）利用等腰三角形的性質(zhì)分別以AB為底邊以及AB為腰，求出即可；
（3）當(dāng)⊙M于直線BC相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為E，連結(jié)ME，利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出a的值即可．

解答：解：（1）把點(diǎn)B（0，5）代入y=-x²-4x+k
得 k=5；

（2）①以AB為底邊，
∵y=-x²-4x+5，
當(dāng)y=0，解得：x₁=1，x₂=-5，
∴AO=5，
∴AB=5

2

，
AO=BO=5，
則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，0），
②以AB為腰，AB=BM或AB=AM，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（5，0）或（-5-5

2

，0）或（0，-5）或（5

2

-5，0）；

（3）根據(jù)題意得出：AC=6，C（1，0），BC=

26

，
當(dāng)⊙M于直線BC相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為E，連結(jié)ME，
則△MCE∽△BOC，
∴

MC

ME

=

BC

BO

，
∴

MC

3

=

26

5

，
∴MC=

3 26

5

，
∴MO=

3 26

5

-1，
∴a=-

3 26

5

+1，
同理可得：當(dāng)⊙M的圓心在y軸右側(cè)，則a=

3 26

5

+1，
綜上所述：當(dāng)a=-

3 26

5

+1或

3 26

5

+1時(shí)，以AC的長(zhǎng)為直徑的⊙M與直線BC相切．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．