Question

已知：Rt△A′BC′≌Rt△ABC，∠A′C′B=∠ACB=90°，∠A′BC′=∠ABC=60°，Rt△A′BC′可繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中直線(xiàn)CC′和AA′相交于點(diǎn)D．
（1）如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)C′在A(yíng)B邊上時(shí)，判斷線(xiàn)段AD和線(xiàn)段A′D之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）將Rt△A′BC′由圖1的位置旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）將Rt△A′BC′由圖1的位置按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)α角（0°≤α≤120°），當(dāng)A、C′、A′三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何變換綜合題

專(zhuān)題：綜合題

分析：（1）易證△BCC′和△BAA′都是等邊三角形，從而可以求出∠AC′D=∠BAD=60°，∠DC′A′=∠DA′C′=30°，進(jìn)而可以證到AD=DC′=A′D．
（2）解答中提供了兩種方法，分別利用相似與全等，證明所得的結(jié)論．
（3）當(dāng)A、C′、A′三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上時(shí)，有∠AC′B=90°，易證Rt△ACB≌Rt△AC′B （HL），從而可以求出旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)．

解答：答：（1）AD=A′D．
證明：如圖1，
∵Rt△A′BC′≌Rt△ABC，
∴BC=BC′，BA=BA′．
∵∠A′BC′=∠ABC=60°，
∴△BCC′和△BAA′都是等邊三角形．
∴∠BAA′=∠BC′C=60°．
∵∠A′C′B=90°，
∴∠DC′A′=30°．
∵∠AC′D=∠BC′C=60°，
∴∠ADC′=60°．
∴∠DA′C′=30°．
∴∠DAC′=∠DC′A，∠DC′A′=∠DA′C′．
∴AD=DC′，DC′=DA′．
∴AD=A′D．

（2）仍然成立：AD=A′D．
證法一：利用相似．如圖2-1．
由旋轉(zhuǎn)可得，BA=BA′，BC=BC′，∠CBC′=∠ABA′
∵∠1=

1

2

（180°-∠ABA′），∠3=

1

2

（180°-∠CBC′）
∴∠1=∠3．
設(shè)AB、CD交于點(diǎn)O，則∠AOD=∠BOC
∴△BOC∽△DOA．
∴∠2=∠4，

OB

OD

=

OC

OA

．
連接BD，
∵∠BOD=∠COA，
∴△BOD∽△COA．
∴∠5=∠6．
∵∠ACB=90°，
∴∠2+∠5=90°．
∴∠4+∠6=90°，即∠ADB=90°．
∵BA=BA′，∠ADB=90°，
∴AD=A′D．
證法二：利用全等．如圖2-2．
過(guò)點(diǎn)A作AE∥A′C′，交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，則∠1=∠2，∠E=∠3．
由旋轉(zhuǎn)可得，AC=AC′，BC=BC′，
∴∠4=∠5．
∵∠ACB=∠A′C′B=90°，
∴∠5+∠6=∠3+∠4=90°，
∴∠3=∠6．
∴∠E=∠6，∴AE=AC=A′C′．
在△ADE與△A′DC′中，

∠1=∠2 AE=A′C′ ∠E=∠3

∴△ADE≌△A′DC′（ASA），
∴AD=A′D．

（3）當(dāng)A、C′、A′三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上時(shí)，如圖3，
則有∠AC′B=180°-∠A′C′B=90°．
在Rt△ACB和Rt△AC′B中，

BC=BC′ AB=AB

．
∴Rt△ACB≌Rt△AC′B （HL）．
∴∠ABC=∠ABC′=60°．
∴當(dāng)A、C′、A′三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上時(shí)，旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)為60°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，有一定的綜合性．