Question

【題目】△ABC為等邊三角形，．．

(1)求證：四邊形是菱形．

(2)若是的角平分線，連接，找出圖中所有的等腰三角形．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)圖中等腰三角形有△ABC，△BDC，△ABD，△ADF，△ADC，△ADE．

【解析】

（1）先求證BD∥AF，證明四邊形ABDF是平行四邊形，再利用有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證明；（2）先利用BD平分∠ABC，得到BD垂直平分線段AC，進(jìn)而證明△DAC是等腰三角形，根據(jù)BD⊥AC,AF⊥AC，找到角度之間的關(guān)系,證明△DAE是等腰三角形，進(jìn)而得到BC＝BD＝BA＝AF＝DF，即可解題,見詳解.

(1)如圖1中，∵∠BCD＝∠BDC，

∴BC＝BD，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝BC，

∵AB＝AF，

∴BD＝AF，

∵∠BDC＝∠AEC，

∴BD∥AF，

∴四邊形ABDF是平行四邊形，

∵AB＝AF，

∴四邊形ABDF是菱形．

(2)解：如圖2中，∵BA＝BC，BD平分∠ABC，

∴BD垂直平分線段AC，

∴DA＝DC，

∴△DAC是等腰三角形，

∵AF∥BD，BD⊥AC

∴AF⊥AC，

∴∠EAC＝90°，

∵∠DAC＝∠DCA，∠DAC+∠DAE＝90°，∠DCA+∠AEC＝90°，

∴∠DAE＝∠DEA，

∴DA＝DE，

∴△DAE是等腰三角形，

∵BC＝BD＝BA＝AF＝DF，

∴△BCD，△ABD，△ADF都是等腰三角形，

綜上所述，圖中等腰三角形有△ABC，△BDC，△ABD，△ADF，△ADC，△ADE．