Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝﹣x+m經(jīng)過點(diǎn)A（2，0），交y軸于點(diǎn)B．點(diǎn)D為x軸上一點(diǎn)，且S△ADB＝1．

（1）求m的值；

（2）求線段OD的長；

（3）當(dāng)點(diǎn)E在直線AB上（點(diǎn)E與點(diǎn)B不重合），且∠BDO＝∠EDA，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）OD＝1或OD＝3；（3）點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，）或（，）

【解析】

（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入直線解析式進(jìn)行計(jì)算即可求出m的值；

（2）根據(jù)三角形的面積求出AD的長度，然后分點(diǎn)D在點(diǎn)A的左邊與右邊兩種情況得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離得到OD的長度；

（3）找出點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B′，根據(jù)軸對稱性作出∠BDO=∠EDA從而確定出點(diǎn)E的位置，再分點(diǎn)D的兩種情況利用待定系數(shù)法求出直線B′D的解析式，然后聯(lián)立直線AB的解析式，解方程組即可得到點(diǎn)E的坐標(biāo)．

（1）∵直線y＝﹣x+m經(jīng)過點(diǎn)A（2，0），

∴0＝﹣2+m，

∴m＝2；

（2）∵直線y＝﹣x+2交y軸于點(diǎn)B，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2），

∴OB＝2，

∵S△ADB＝ADOB＝1，

∴AD＝1，

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，0）或（3，0），

∴OD＝1或OD＝3；

（3）①當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，0）時(shí)，如圖所示，

取點(diǎn)B′（0，﹣2），連接B′D并延長，交直線BA于點(diǎn)E．

∵OB＝OB′，AO⊥BB′于O，

∴OD為BB′的垂直平分線．

∴DB＝DB′，

∴∠1＝∠2．

又∵∠2＝∠3，

∴∠1＝∠3，

設(shè)直線B′D的解析式為y＝kx﹣2（k≠0），

∵直線B′D經(jīng)過點(diǎn)D（1，0），

∴0＝k﹣2，

∴k＝2，

∴直線B′D的解析式為y＝2x﹣2，

聯(lián)立得，

解得，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，）；

②當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，0）時(shí)，如圖所示，

取點(diǎn)B′（0，﹣2），連接B′D，交直線BA于點(diǎn)E，

同①的方法，可得∠1＝∠2，直線B′D的解析式為y＝x﹣2，

聯(lián)立得，

解得，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，），

綜上所述，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，）或（，）．