Question

4．已知直線y=-$\frac{2n}{n+1}$x+$\frac{2}{n+1}$（n為正整數(shù)）與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S_n，則S₁+S₃+…+S₂₀₁₃+S₂₀₁₅=$\frac{2015}{2016}$．

Answer 1

分析 依次求出S₁、S₂、S_n，就發(fā)現(xiàn)規(guī)律：Sn=$\frac{1}{n（n+1）}$，然后求其和即可求得答案．注意$\frac{1}{n（n+1）}$，=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．

解答 解：∵當(dāng)n=1時(shí)，直線為y=-x+1，
∴直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（0，1），（1，0），
∴S₁=$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$；
當(dāng)n=2時(shí)，直線為y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{2}{3}$，
∴直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（0，$\frac{2}{3}$），（$\frac{1}{2}$，0），
∴S₂=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{6}$；
當(dāng)n=3時(shí)，直線為y=-$\frac{3}{2}$x+$\frac{1}{2}$，
∴直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（0，$\frac{1}{2}$），（$\frac{1}{3}$，0），
∴S₃=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{12}$；
…，
Sn=$\frac{1}{n（n+1）}$，
∴S₁+S₃+…+S₂₀₁₃+S₂₀₁₅=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$=$\frac{2015}{2016}$．
故答案為$\frac{2015}{2016}$．

點(diǎn)評 本題考查的是一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，根據(jù)題意找出規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵．