Question

9．閱讀下列材料：
在因式分解中，把多項(xiàng)式中某些部分看作一個(gè)整體，用一個(gè)新的字母代替（即換元），不僅可以簡(jiǎn)化要分解的多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)，而且能使式子的特點(diǎn)更加明顯，便于觀察處如何進(jìn)行因式分解，這種方法就是換元法．
例如：分解因式（x+1）（x+2）（x+3）（x+6）+x²時(shí)，可以先將原式中的（x+1）（x+6）、（x+2）（x+3）分別計(jì)算，得：x²+7x+6，x²+5x+6，觀察后設(shè)x²+5x+6=A，則原式=（A+2x）A+x²=A²+2Ax+x²=（A+x）²=（x²+6x+6）²
又如：分解因式4x⁴-12x³+17x²-12x+4時(shí)，考慮到系數(shù)的對(duì)稱性，如果提取中間項(xiàng)的字母及指數(shù)后，就可以使用換元法，具體過程如下：
4x⁴-12x³+17x²-12x+4=x²（4x²-12x+17-$\frac{12}{x}$+$\frac{4}{{x}^{2}}$）=x²[4（x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$）-12（x+$\frac{1}{x}$）+17]令x+$\frac{1}{x}$=t，則原式=x²（4t²-12t+9）=x²（2t-3）²=x²（2x+$\frac{2}{x}$-3）²=（2x²-3x+2）²，請(qǐng)參照閱讀材料中的換元對(duì)下列各式進(jìn)行因式分解：
（1）a⁴-18a²+81   （2）（x-3）（x-2）（x+6）（x+9）+4x²   （3）x⁴-4x³+2x²+4x+1．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)材料1，用換元法進(jìn)行分解因式；
（2）根據(jù)材料1，用換元法進(jìn)行分解因式；
（1）根據(jù)材料2，用換元法進(jìn)行分解因式．

解答 解：（1）設(shè)t=a²，則原式=t²-18t+81=（t-9）²=（t-3）²（t+3）²；
（2）∵（x-3）（x+6）=x²+3x-18，（x-2）（x+9）=x²+7x-18，
設(shè)A=x²+3x-18，
∴原式=A（A+4x）+4x²=A²+4Ax+4x²=（A+2x）²=（x²+5x-18）²；
（3）原式=x²（x²-4x+2+$\frac{4}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$）=x²[（x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$）-4（x-$\frac{1}{x}$）+2]，
設(shè)t=x-$\frac{1}{x}$，
則原式=x²（t²-4t+4）=x²（t-2）²=x²（x-$\frac{1}{x}$-2）²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了因式分解-十字相乘法，公式法，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．