Question

在?ABCD中，∠BAD的平分線交直線BC于點E，交直線DC于點F．
（1）若∠ABC=90°，G是EF的中點（如圖1），求∠BDG的度數(shù)；
（2）若∠ABC=120°，F(xiàn)G∥CE，F(xiàn)G=CE，分別連接DB、DG（如圖2），直接寫出∠BDG的度數(shù)．

Answer 1

考點：平行四邊形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)∠ABC=90°，G是EF的中點可直接求得．
（2）分別連接GB、GC，求證四邊形CEGF是平行四邊形，再求證△ECG是等邊三角形．由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB，求證△BEG≌△DCG，然后即可求得答案

解答：（1）解：連接GC、BG，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，∠ABC=90°，
∴四邊形ABCD為矩形，
∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF=∠BAF=45°，
∵∠DCB=90°，DF∥AB，
∴∠DFA=45°，∠ECF=90°
∴△ECF為等腰直角三角形，
∵G為EF中點，
∴EG=CG=FG，CG⊥EF，
∵△ABE為等腰直角三角形，AB=DC，
∴BE=DC，
∵∠CEF=∠GCF=45°，
∴∠BEG=∠DCG=135°
在△BEG與△DCG中，
∵

EG=CG ∠BEG=∠DCG BE=DC

，
∴△BEG≌△DCG，
∴BG=DG，
∵CG⊥EF，
∴∠DGC+∠DGA=90°，
又∵∠DGC=∠BGA，
∴∠BGA+∠DGA=90°，
∴△DGB為等腰直角三角形，
∴∠BDG=45°．

（2）解：延長AB、FG交于H，連接HD．
∵AD∥GF，AB∥DF，
∴四邊形AHFD為平行四邊形
∵∠ABC=120°，AF平分∠BAD
∴∠DAF=30°，∠ADC=120°，∠DFA=30°
∴△DAF為等腰三角形
∴AD=DF，
∴CE=CF，
∴平行四邊形AHFD為菱形，
∴△ADH，△DHF為全等的等邊三角形，
∴DH=DF，∠BHD=∠GFD=60°．
∵FG=CE，CE=CF，CF=BH，
∴BH=GF．
在△BHD與△GFD中，
∵

DH=DF ∠BHD=∠GFE BH=GF

，
∴△BHD≌△GFD，
∴∠BDH=∠GDF，
∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°．

點評：此題主要考查平行四邊形的判定方法，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)等知識點，應(yīng)用時要認真領(lǐng)會它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法．同學們在解決此類問題時，可以通過以下的步驟進行思考和分析（1）根據(jù)猜想的結(jié)果進行聯(lián)想（如60度角可以聯(lián)想到等邊三角形，45度角可以聯(lián)想到等腰直角三角形等）；（2）在聯(lián)想的基礎(chǔ)上根據(jù)已知條件利用幾何變換（如旋轉(zhuǎn)、平移、軸對稱等）構(gòu)造全等解決問題