Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，AB＝BC＝5，AC＝8，D為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，以CD為邊在x軸上方作正方形CDEF，連接AE．

（1）若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(m，0)，則m＝　 　；

（2）當(dāng)BD＝　 　時(shí)，EA⊥x軸；

（3）當(dāng)點(diǎn)D由點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A過(guò)程中，點(diǎn)F經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為　 　；

（4）當(dāng)△ADE面積最大時(shí)，求出BD的長(zhǎng)及△ADE面積最大值．

Answer 1

【答案】（1）﹣；（2）；（3）5；（4）BD＝，△ADE面積最大值為

【解析】

（1）由勾股定理可得64﹣（5﹣m）2＝25﹣（﹣m）2，可求m的值；

（2）由勾股定理可求CO的長(zhǎng)，由“AAS”可證△AED≌△ODC，可得AD＝CO，即可求解；

（3）由“AAS”可證△CFH≌△CDO，可得CH＝CO＝，FH＝DO，可得點(diǎn)F在FH上移動(dòng)，由特殊位置可求解；

（4）過(guò)點(diǎn)E作EN⊥x軸于點(diǎn)N，由三角形的面積公式可得△ADE面積＝×AD×EN＝（5﹣BD）（+BD）＝﹣（BD﹣）2+，由二次函數(shù)的性質(zhì)可求解．

解：（1）∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，0），

∴BO＝﹣m，

∵CO2＝AC2﹣AO2，CO2＝CB2﹣BO2，

∴64﹣（5﹣m）2＝25﹣（﹣m）2，

∴m＝﹣，

故答案為：﹣；

（2）∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣，0），

∴BO＝，

∴CO＝＝，

∵EA⊥x軸，

∴∠EAD＝90°，

∴∠EDA+∠AED＝90°，

∵四邊形CDEF是正方形，

∴CD＝DE，∠EDC＝90°，

∴∠EDA+∠CDO＝90°，

∴∠AED＝∠CDO，

∵∠EAD＝∠COD，ED＝CD，

∴△AED≌△ODC（AAS）

∴AE＝DO，AD＝CO＝，

∴BD＝AB﹣AD＝5﹣＝，

∴當(dāng)BD＝時(shí)，EA⊥x軸；

故答案為：；

（3）如圖，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥y軸，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥CH，交點(diǎn)為H，

∵四邊形CDEF是正方形，

∴CD＝CF，∠FCD＝90°，

∴∠FCH+∠DCH＝90°，

又∵∠DCO+∠HCD＝90°，

∴∠FCH＝∠DCO，

又∵FC＝DC，∠CHF＝∠DOC＝90°，

∴△CFH≌△CDO（AAS）

∴CH＝CO＝，FH＝DO，

∴點(diǎn)F在FH上移動(dòng)，

當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，FH＝BO＝，

當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)BC重合時(shí)，FH＝AO＝AB+BO＝5+＝，

∴當(dāng)點(diǎn)D由點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A過(guò)程中，點(diǎn)F經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為﹣＝5，

故答案為：5；

（4）如圖，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥x軸于點(diǎn)N，

由（2）可得△DEN≌△CDO，

∴EN＝DO，

∵△ADE面積＝×AD×EN＝（5﹣BD）（+BD）＝﹣（BD﹣）2+，

∴當(dāng)BD＝時(shí)，△ADE面積最大值為．