Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），且此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（-1，4）.

（1）求此拋物線的解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)D為已知拋物線對(duì)稱軸上的任意一點(diǎn)，當(dāng)△ACD面積等于6時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)P在線段AM上，當(dāng)PC與y軸垂直時(shí)，過點(diǎn)P作軸的垂線，垂足為E，將△PCE沿直線CB翻折，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P'與P、E、C處在同一平面內(nèi)，請(qǐng)求出P'坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)P'是否在拋物線上.

Answer 1

【答案】(1) ；M（-1,4）；（2）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，-2）或（-1，6）.

；（3）點(diǎn)P′不在該拋物線上．

【解析】分析：（1）由拋物線經(jīng)過的C點(diǎn)坐標(biāo)以及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為（﹣1，yD），根據(jù)△ACD的面積=6，即可得出關(guān)于yD含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程，解方程即可得出結(jié)論；

（3）作點(diǎn)P關(guān)于直線CE的對(duì)稱點(diǎn)P′，過點(diǎn)P′作PH⊥y軸于H，設(shè)P′E交y軸于點(diǎn)N．根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)即可得出△EON≌△CP′N，從而得出CN=NE，由點(diǎn)A、M的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線AM的解析式，進(jìn)而得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．在Rt△P′NC中，由勾股定理可求出CN的值，再由相似三角形的性質(zhì)以及線段間的關(guān)系即可找出點(diǎn)P′的坐標(biāo)，將其代入拋物線解析式中看等式是否成立，由此即可得出結(jié)論．

詳解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)C（0，3），頂點(diǎn)為M（﹣1，4），∴，解得：，∴所求拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3．

（2）依照題意畫出圖形，如圖1所示．

令y=﹣x2﹣2x+3=0，解得：x=﹣3或x=1，故A（﹣3，0），B（1，0），∴OA=OC，△AOC為等腰直角三角形．

設(shè)AC交對(duì)稱軸x=﹣1于F（﹣1，yF），由點(diǎn)A（﹣3，0）、C（0，3）可知直線AC的解析式為y=x+3，∴yF=﹣1+3=2，即F（﹣1，2）．

設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為（﹣1，yD），則S△ADC=DFAO=×|yD﹣2|×3=6．

解得：yD=﹣2或yD=6，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，﹣2）或（﹣1，6）．

（3）如圖2，點(diǎn)P′為點(diǎn)P關(guān)于直線CE的對(duì)稱點(diǎn)，過點(diǎn)P′作PH⊥y軸于H，設(shè)P′E交y軸于點(diǎn)N．

在△EON和△CP′N中，，∴△EON≌△CP′N（AAS）．

設(shè)NC=m，則NE=m．

∵A（﹣3，0）、M（﹣1，4）可知直線AM的解析式為y=2x+6，∴當(dāng)y=3時(shí)，x=﹣，即點(diǎn)P（﹣，3），∴P′C=PC=，P′N=3﹣m．在Rt△P′NC中，由勾股定理，得：+（3﹣m）2=m2，解得：m=．

∵S△P′NC=CNP′H=P′NP′C，∴P′H=．

由△CHP′∽△CP′N可得：，∴CH==，∴OH=3﹣=，∴P′的坐標(biāo)為（）．

將點(diǎn)P′（）代入拋物線解析式，得：y=﹣﹣2×+3=≠，∴點(diǎn)P′不在該拋物線上．