Question

8．已知拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+（m+$\frac{1}{2}$）x+m+1與x軸交A、B兩點，其中A在原點的左邊，B在原點的右邊（如圖），與y軸交與點C．
（1）試說明：不任m為何實數(shù)，A點的位置不變；
（2）若∠ACB=90°，求拋物線的解析式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線與x軸的交點問題，通過解方程-$\frac{1}{2}$x²+（m+$\frac{1}{2}$）x+m+1=0可得到B（2m+2，0），A（-1，0），于是可判斷無任m為何實數(shù)，A點的位置不變；
（2）先確定C（0，m+1），再證明Rt△ACO∽Rt△COB，利用相似比得（m+1）：（2m+2）=1：（m+1），則可求得m=1或m=-1（舍去），于是可確定拋物線解析式．

解答 解：（1）當(dāng)y=0時，-$\frac{1}{2}$x²+（m+$\frac{1}{2}$）x+m+1=0，
整理得x²-（2m+1）x-2m-2=0，解得x₁=2m+2，x₂=-1，
所以B（2m+2，0），A（-1，0），
所以不任m為何實數(shù)，A點的位置不變；
（2）當(dāng)x=0時，y=-$\frac{1}{2}$x²+（m+$\frac{1}{2}$）x+m+1=m+1，則C（0，m+1），
∵∠ACB=90°，即∠ACO+∠BCO=90°，
而∠CAO+∠ACO=90°，
∴∠CAO=∠BCO，
∴Rt△ACO∽Rt△COB，
∴OC：OB=OA：OC，即（m+1）：（2m+2）=1：（m+1），
∴m=1或m=-1（舍去），
∴拋物線解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．