Question

3．如圖，已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=x²+mx的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，并且與x軸交于點(diǎn)A，對(duì)稱軸為直線x=1．若關(guān)于x的一元二次方程x²+mx-k=0（k為常數(shù)）在-2＜x＜3的范圍內(nèi)有解，則k的取值范圍-1≤k＜8．

Answer 1

分析 先利用拋物線的對(duì)稱性得到拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），則利用交點(diǎn)式可求出拋物線解析式為y=x²-2x，則配成頂點(diǎn)式得到當(dāng)x=1時(shí)，y的最小值為-1，接著求出當(dāng)-2＜x＜3時(shí)，y的取值范圍為-1≤y＜8，然后把關(guān)于x的一元二次方程x²+mx-k=0（k為常數(shù)）在-2＜x＜3的范圍內(nèi)有解理解為拋物線y=x²-2x與直線y=k有公共點(diǎn)，于是可得到k的取值范圍為-1≤k＜8．

解答 解：∵二次函數(shù)y=x²+mx的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，對(duì)稱軸為直線x=1，
∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），
∴拋物線解析式為y=x（x-2），即y=x²-2x，
∵y=（x-1）²-1，
∴當(dāng)x=1時(shí)，y的最小值為-1，
當(dāng)x=-2時(shí)，y=x²-2x=8；當(dāng)x=3時(shí)，y=x²-2x=3，
∴當(dāng)-2＜x＜3時(shí)，y的取值范圍為-1≤y＜8，
∵關(guān)于x的一元二次方程x²+mx-k=0（k為常數(shù)）在-2＜x＜3的范圍內(nèi)有解可看作拋物線y=x²-2x與直線y=k有公共點(diǎn)，
∴k的取值范圍為-1≤k＜8．
故答案為-1≤k＜8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．解決本題的關(guān)鍵是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想．