Question

在直角坐標(biāo)系中，已知A（2，4），M，N均在坐標(biāo)軸上，矩形ANOM，點(diǎn)P由O出發(fā)，1分鐘到M，點(diǎn)Q由M出發(fā)，1分鐘到A
（1）求過(guò)幾分鐘，能使PQ=2；
（2）求PQ長(zhǎng)度的平方y(tǒng)和時(shí)間t的函數(shù)解析式；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ⊥MN．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：由題意畫(huà)出圖形，可知點(diǎn)M在x軸上，坐標(biāo)為（2，4），點(diǎn)N在y軸上，坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)P由O出發(fā)，1分鐘到M，說(shuō)明點(diǎn)p的運(yùn)動(dòng)速度為每分鐘2個(gè)單位，點(diǎn)Q由M出發(fā)，1分鐘到A，說(shuō)明點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為每分鐘4各單位．
（1）設(shè)過(guò)t分鐘，能使PQ=2，由題意可知：OP=2t，PM=2-2t，MQ=4t，在Rt△PMQ中，由勾股定理可求t的值，
（2）在Rt△PMQ中，由勾股定理可得：y=PM²+MQ²，然后將PM=2-2t，MQ=4t代入即可得到y(tǒng)和時(shí)間t的函數(shù)解析式，
（3）當(dāng)PQ⊥MN時(shí)，可得△PQM∽△NMO，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)變邊成比例，可求t的值．

解答：解：由題意可畫(huà)出圖（1），可知點(diǎn)M在x軸上，坐標(biāo)為（2，4），點(diǎn)N在y軸上，坐標(biāo)為（0，4），
∵點(diǎn)P由O出發(fā)，1分鐘到M，點(diǎn)Q由M出發(fā)，1分鐘到A，
∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為每分鐘2個(gè)單位，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為每分鐘4個(gè)單位，
∴OP=2t，PM=2-2t，MQ=4t，
（1）如圖（1），設(shè)過(guò)t分鐘，能使PQ=2，
在Rt△PMQ中，由勾股定理可得：
PM²+QM²=PQ²，
即：（2-2t）²+（4t）²=2²，
解得：t₁=0，t₂=

2

5

，
∴經(jīng)過(guò)0分鐘或

2

5

分鐘，能使PQ=2．
（2）如圖（1），
在Rt△PMQ中，由勾股定理可得：
PM²+QM²=PQ²，
即：y=（2-2t）²+（4t）²
整理得：y=20t²-8t+4，
∴PQ長(zhǎng)度的平方y(tǒng)和時(shí)間t的函數(shù)解析式為：y=20t²-8t+4．

（3）如圖（2），
當(dāng)PQ⊥MN時(shí)，
可得：∠HPM+∠HMP=90°，
∵∠ONM+∠HMP=90°，
在△MON和△QMP中，
∵

∠HPM=∠ONM ∠NOM=∠QMP

，
∴△MON∽△QMP，
∴

OM

QM

=

ON

MP

，
即：

2

4t

=

4

2-2t

，
解得：t=

1

5

，
∴當(dāng)t為

1

5

時(shí)，PQ⊥MN．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了函數(shù)的綜合題型，解題應(yīng)用到勾股定理和相似三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．