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【題目】2013年浙江義烏10分)小明合作學習小組在探究旋轉、平移變換.如圖△ABC△DEF均為等腰直角三角形,各頂點坐標分別為A1,1),B22),C21),D,0),E, 0),F,).

1)他們將△ABCC點按順時針方向旋轉450得到△A1B1C.請你寫出點A1B1的坐標,并判斷A1CDF的位置關系;

2)他們將△ABC繞原點按順時針方向旋轉450,發(fā)現旋轉后的三角形恰好有兩個頂點落在拋物線上.請你求出符合條件的拋物線解析式;

3)他們繼續(xù)探究,發(fā)現將△ABC繞某個點旋轉45,若旋轉后的三角形恰好有兩個頂點落在拋物線上,則可求出旋轉后三角形的直角頂點P的坐標.請你直接寫出點P的所有坐標.

【答案】解:(1。

A1CDF的位置關系是平行。

2∵△ABC繞原點按順時針方向旋轉45°后的三角形即為△DEF

∴①當拋物線經過點D、E時,根據題意可得:,解得。

當拋物線經過點D、F時,根據題意可得:,解得

。

當拋物線經過點EF時,根據題意可得:,解得。

。

3)在旋轉過程中,可能有以下情形:

順時針旋轉45°,點A、B落在拋物線上,如答圖1所示,

易求得點P坐標為(0,)。

順時針旋轉45°,點B、C落在拋物線上,如答圖2所示,

設點B′C′的橫坐標分別為x1,x2,

易知此時B′C′與一、三象限角平分線平行,設直線B′C′的解析式為y=x+b。

聯立y=x2y=x+b得:x2=x+b,即,。

∵B′C′=1根據題意易得:,,即。

,解得。

,解得x。

C′的橫坐標較小,。

時,。

∴P)。

順時針旋轉45°,點C、A落在拋物線上,如答圖3所示,

設點C′,A′的橫坐標分別為x1x2

易知此時C′A′與二、四象限角平分線平行,設直線C′A′的解析式為。

聯立y=x2得:,即。

∵C′A′=1,根據題意易得:,,即。

,解得。

,解得x。

C′的橫坐標較大,。

時,。

∴P)。

逆時針旋轉45°,點AB落在拋物線上.

因為逆時針旋轉45°后,直線A′B′y軸平行,因為與拋物線最多只能有一個交點,故此種情形不存在。

逆時針旋轉45°,點B、C落在拋物線上,如答圖4所示,

同理,可求得:P,)。

逆時針旋轉45°,點C、A落在拋物線上,如答圖5所示,

同理,可求得:P,)。

綜上所述,點P的坐標為:(0,),(,),P,,(,)。

【解析】

1)由旋轉性質及等腰直角三角形邊角關系求解。

2)首先明確△ABC繞原點按順時針方向旋轉45°后的三角形即為△DEF,然后分三種情況進行討論,分別計算求解。

3)旋轉方向有順時針、逆時針兩種可能,落在拋物線上的點有點A和點B、點B和點C、點C和點D三種可能,因此共有六種可能的情形,需要分類討論,避免漏解。

練習冊系列答案
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摸球的次數

100

200

300

500

800

1000

3000

摸到白球的次數

65

124

278

302

481

599

1803

摸到白球的頻率

0.65

0.62

0.593

0.604

0.601

0.599

0.601

1)請估計當很大時,摸到白球的頻率將會接近 (精確到0.1);

2)假如摸一次,摸到黑球的概率 ;

3)試估算盒子里黑顏色的球有多少只.

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(Ⅰ)圖①中的值為

(Ⅱ)求統計的這組數據的平均數、眾數和中位數;

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