Question

20．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是邊BC上一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F是線段AD上一點(diǎn)，連接EF，CF．
（1）若AD平分∠BAC，求證：EF=CF．
（2）若點(diǎn)F是線段AD的中點(diǎn)，試猜想線段EF與CF的大小關(guān)系，并加以證明．
（3）在（2）的條件下，若∠BAC=45°，AD=6，直接寫出C，E兩點(diǎn)間的距離．

Answer 1

分析 （1）先證明Rt△AED≌Rt△ACD，得到∠ADE=∠ADC，再證明△EDF≌△CDF，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可解答；
（2）根據(jù)直角三角形中斜邊的中線等于斜邊的一半，即可解答；
（3）根據(jù)∠AED=90°，∠ACD=90°，可得點(diǎn)A，E，D，C四點(diǎn)共圓，所以求出∠EFC=2∠BAC=90°，由（2）可知，EF=CF=$\frac{1}{2}$AD=3，再根據(jù)勾股定理，即可解答．

解答 解：（1）∵AD平分∠BAC，∠ACB=90°，DE⊥AB于點(diǎn)E，
∴DE=DC，
在Rt△AED和Rt△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DC}\\{AD=AD}\end{array}\right.$
∴Rt△AED≌Rt△ACD，
∴∠ADE=∠ADC，
在△EDF和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DC}\\{∠EDF=∠CDF}\\{DF=DF}\end{array}\right.$
∴△EDF≌△CDF，
∴EF=CF．
（2）EF=CF，
 在Rt△AED和Rt△ACD中，
∵點(diǎn)F是線段AD的中點(diǎn)，
∴EF=$\frac{1}{2}$AD，CF=$\frac{1}{2}$AD，
∴EF=CF．
（3）連接CE，如圖，

∵∠AED=90°，∠ACD=90°，
∴點(diǎn)A，E，D，C四點(diǎn)共圓，
∴AD為圓的直徑，
∵點(diǎn)F是線段AD的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)F為圓心，
∴∠EFC=2∠BAC=90°，
由（2）可知，EF=CF=$\frac{1}{2}$AD=3，
∴CE=$\sqrt{E{F}^{2}+C{F}^{2}}=\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}=3\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的性質(zhì)定理與判定定理，解決本題的關(guān)鍵是證明三角形全等．