Question

13．如圖，拋物線y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{5}{4}$x+1與x軸的正半軸相交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸的正半軸交于點(diǎn)．
（1）點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為A（1，0），B（4，0），C（0，1）．
（2）請(qǐng)你探索：在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得四邊形PCOB的面積等于8．且△PBC是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？如果存在，請(qǐng)你求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）令x=0，求得y值，即可求出點(diǎn)C坐標(biāo)，令y=0，解一元二次方程，求得x值，即可以求出點(diǎn)A、D坐標(biāo)．
（2）首先假設(shè)存在，設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，利用四邊形面積求出點(diǎn)P的橫縱坐標(biāo)之間關(guān)系式，再利用△PBC等腰直角三角形性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形，求出點(diǎn)P橫縱坐標(biāo)之間的關(guān)系式，聯(lián)立兩個(gè)關(guān)系式，即可以求出點(diǎn)P坐標(biāo)．

解答 解：（1）令y=0，
得：$\frac{1}{4}$x²-$\frac{5}{4}$x+1=0，
即：x²-5x+4=0，
分解因式得：（x-1）（x-4）=0
得：x₁=1，x₂=5，
∴A（1，0），B（4，0）．
令x=0，得y=1
∴C（0，1），
故答案為：A（1，0），B（4，0），C（0，1）．

（2）存在．

假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P，使得四邊形PCOB的面積等于8，且△PBC是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），連接OP．
則S_{四邊形PCOB}=S_△PCO+S_△POB
=$\frac{1}{2}$×1×x+$\frac{1}{2}$×4×y，
=$\frac{1}{2}$x+2y，
∴$\frac{1}{2}$x+2y=8，
∴x+4y=16
過(guò)P作PD⊥x軸，PE⊥y軸，垂足分別為D、E，
∴∠PEO=∠EOD=∠ODP=90°．
∴四邊形PEOD是矩形
∴∠EPD=90°．
∴∠EPC=∠DPB．
∴△PEC≌△PDB，
∴PE=PD，即x=y．
由$\left\{\begin{array}{l}{x=y}\\{x+4y=16}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{16}{5}}\\{y=\frac{16}{5}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)P（$\frac{16}{5}$，$\frac{16}{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：從二次函數(shù)的交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-x₁）（x-x₂）（a，b，c是常數(shù)，a≠0）中可直接得到拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（x₁，0），（x₂，0）．同時(shí)本題還考查二次函數(shù)與圖形的綜合利用，題目第一問(wèn)比較簡(jiǎn)單，第二問(wèn)較難，可以考查學(xué)生解決問(wèn)題的綜合能力．