Question

20．小華在“科技創(chuàng)新大賽”中制作了一個(gè)創(chuàng)意臺(tái)燈作品，現(xiàn)忽略支管的粗細(xì)，得到它的側(cè)面簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)圖如圖所示．已知臺(tái)燈底部支架CD平行于水平面，F(xiàn)E⊥OE，GF⊥EF，臺(tái)燈上部可繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，OE=20cm，EF=20$\sqrt{3}$cm．
（1）如圖1，若將臺(tái)燈上部繞點(diǎn)O逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)G落在直線CD上時(shí)，測(cè)量得∠EOG=65°，求FG的長度（結(jié)果精確到0.1cm）；
（2）將臺(tái)燈由圖1位置旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，若此時(shí)F，O兩點(diǎn)所在的直線恰好與CD垂直，求點(diǎn)F在旋轉(zhuǎn)過程中所形成的弧的長度．（參考數(shù)據(jù)：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，$\sqrt{3}$≈1.73，可使用科學(xué)計(jì)算器）

Answer 1

分析 （1）作GM⊥OE可得矩形EFGM，設(shè)FG=xcm，可知EF=GM=20$\sqrt{3}$cm，OM=（20-x）cm，根據(jù)tan∠EOG=$\frac{GM}{OM}$列方程可求得x的值；
（2）RT△EFO中求出OF的長及∠EOF的度數(shù)，由∠EOG度數(shù)可得旋轉(zhuǎn)角∠FOF′度數(shù)，根據(jù)弧長公式計(jì)算可得．

解答 解：（1）如圖，作GM⊥OE于點(diǎn)M，

∵FE⊥OE，GF⊥EF，
∴四邊形EFGM為矩形，
設(shè)FG=xcm，
∴EF=GM=20$\sqrt{3}$cm，F(xiàn)G=EM=xcm，
∵OE=20cm，
∴OM=（20-x）cm，
在RT△OGM中，
∵∠EOG=65°，
∴tan∠EOG=$\frac{GM}{OM}$，即$\frac{20\sqrt{3}}{20-x}$=tan65°，
解得：x≈3.8cm；
故FG的長度約為3.8cm．

（2）連接OF，
在RT△EFO中，∵EF=20$\sqrt{3}$，EO=20，
∴FO=$\sqrt{E{F}^{2}+E{O}^{2}}$=40，tan∠EOF=$\frac{EF}{EO}$=$\frac{20\sqrt{3}}{20}$=$\sqrt{3}$，
∴∠EOF=60°，
∴∠FOG=∠EOG-∠EOF=5°，
又∵∠GOF′=90°，
∴∠FOF′=85°，
∴點(diǎn)F在旋轉(zhuǎn)過程中所形成的弧的長度為：$\frac{85•π•40}{180}$=$\frac{170π}{9}$cm．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的密切聯(lián)系，解題的關(guān)鍵是表示出線段的長后，理清線段之間的關(guān)系．