Question

【題目】李老師是我區(qū)“IDJP”課題研究的主要成員之一，一天他在視頻微課中提出了以下問題：如圖，AB，CD為圓形紙片中兩條互相垂直的直徑，將圓形紙片沿EF折疊，使B與圓心M重合，折痕EF與AB相交于N連結(jié)AE，AF．李老師提出兩個猜想和一個問題，請你證明或解答出來：

①四邊形MEBF是菱形；

②△AEF為等邊三角形；

③求S△AEF：S圓．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）S△AEF：S圓=3：4π．

【解析】

①由折疊的性質(zhì)可得出BN=MN，∠BNF=∠MNF，結(jié)合∠BNF+∠MNF=180°可得出BM⊥EF，由垂徑定理可得出EN=FN，由BN，EF互相平分可得出四邊形MEBF是平行四邊形，再由BN⊥EF可證出四邊形MEBF是菱形；

②由菱形的性質(zhì)可得出∠EBF=∠EMF，由圓周角定理及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可求出∠EAF=60°，由AN=AN，∠ANE=∠ANF，EN=FN可得出△AEN≌△AFN（SAS），利用全等三角形的性質(zhì)可得出AE=AF，結(jié)合∠EAF=60°可證出△AEF為等邊三角形；

③設(shè)圓M的半徑為r，則AN=r，EF=r，利用三角形及圓的面積公式可求出S△AEF，S圓的值，進(jìn)而可求出S△AEF：S圓的值．

①證明：由折疊的性質(zhì)可知：BN=MN，∠BNF=∠MNF，

∵∠BNF+∠MNF=180°，

∴∠BNF=90°，即BM⊥EF．

∵點(diǎn)M為圓心，EF為⊙M的弦，BM⊥EF，

∴EN=FN，

∴四邊形MEBF為平行四邊形，

又∵BN⊥EF，

∴四邊形MEBF是菱形；

②證明：由①可知：∠EBF=∠EMF．

∵∠EMF=2∠EAF，∠EBF+∠EAF=180°，

∴∠EAF=60°．

在△AEN和△AFN中，，

∴△AEN≌△AFN（SAS），

∴AE=AF，

∴△AEF為等邊三角形；

③解：設(shè)圓M的半徑為r，則AM=MF=r，MN=r，FN==r，

∴EF=2FN=r，

∴S△AEF=EFAN=r2．

∴S圓=πr2，

∴S△AEF：S圓=3：4π．