【題目】如圖,直線y=x-3與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn),拋物線經(jīng)過點(diǎn)B,與直線y=x-3交于點(diǎn)E(8,5),且與x軸交于C,D兩點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)拋物線上有一點(diǎn)M,當(dāng)∠MBE=75°時(shí),求點(diǎn)M的橫坐標(biāo);
(3)點(diǎn)P在拋物線上,在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q,使得以點(diǎn)P,Q,B,C為頂點(diǎn)的四邊形是矩形?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1);(2);(3)存在矩形,
【解析】
(1)直線y=x-3與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn),則A(3,0)B(0,-3),把B、E點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)方程,解得:拋物線的解析式y=x2-x-3…①;
(2)當(dāng)∠MBE=75°時(shí),如下圖所示,分M在x軸上和x軸下分別求解即可;
(3)存在①當(dāng)BC為矩形對(duì)角線時(shí),矩形BP′CQ′所在的位置如圖所示,設(shè):P′(m,n),n=-m2-m-3…③,
P′C所在直線的k1=,P′B所在的直線k2=,則:k1k2=-1即可求解,②當(dāng)BC為矩形一邊時(shí),矩形BCQP所在的位置如圖所示,直線BC所在的方程為:y=-x-3,則:直線BP的k為-2,所在的方程為y=-2x-3…⑤,
聯(lián)立①⑤解得點(diǎn)P(-4,5),則Q(2,8),即可求解.
:(1)直線y=x-3與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn),
則A(3,0)B(0,-3),
把B、E點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)方程,解得:
拋物線的解析式y=x2-x-3…①,
則:C(6,0);
(2)符合條件的有M和M′,如下圖所示,
當(dāng)∠MBE=75°時(shí),
∵OA=OB,∴∠MBO=30°,
此時(shí)符合條件的M只有如圖所示的一個(gè)點(diǎn),
MB直線的k為-,所在的直線方程為:y=-x-3…②,
聯(lián)立方程①、②可求得:x=4-4,
即:點(diǎn)M的橫坐標(biāo)4-4;
當(dāng)∠M′BE=75°時(shí),∠OBM′=120°,
直線MB的k值為-,其方程為y=-x-3,
將MB所在的方程與拋物線表達(dá)式聯(lián)立,
解得:x=,
故:即:點(diǎn)M的橫坐標(biāo)4-4或.
(3)存在.
①當(dāng)BC為矩形對(duì)角線時(shí),矩形BP′CQ′所在的位置如圖所示,
設(shè):P′(m,n),
n=-m2-m-3…③,
P′C所在直線的k1=,
P′B所在的直線k2=,則:k1k2=-1…④,
③、④聯(lián)立解得:m=2,則P′(2,3-2),
則Q′(6-2,2-3);
②當(dāng)BC為矩形一邊時(shí),
情況一:矩形BCQP所在的位置如圖所示,
直線BC所在的方程為:y=x-3,
則:直線BP的k為-2,所在的方程為y=-2x-3…⑤,
聯(lián)立①⑤解得點(diǎn)P(-4,5),
則Q(2,8),
情況二:矩形BCP″Q″所在的位置如圖所示,
此時(shí),P″在拋物線上,其指標(biāo)為:(-10,32)..
故:存在矩形,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為:(6-2,2-3)或(2,8)或(-10,32).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是正內(nèi)一點(diǎn),,,,將線段以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段,連接,下列結(jié)論:①可以由繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到:②點(diǎn)與的距離為4;③;④四邊形;⑤.其中正確的結(jié)論是( )
A.①②③④B.①②③⑤C.①②④⑤D.①②③④⑤
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:是等腰直角三角形,動(dòng)點(diǎn)在斜邊所在的直線上,以為直角邊作等腰直角三角形,其中,探究并解決下列問題:
(1)如圖①,若點(diǎn)在線段上,且,,則:
①長為 ;的長為 ;
②猜想:,,三者之間的數(shù)量關(guān)系為 ;
(2)如圖②,若點(diǎn)在的延長線上,在(1)中所猜想的結(jié)論依然成立,請(qǐng)你利用圖②給出證明過程;
(3)若動(dòng)點(diǎn)滿足,求的值.(提示:請(qǐng)利用備用圖進(jìn)行探求)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下列兩段材料,回答問題:
材料一:點(diǎn),的中點(diǎn)坐標(biāo)為.例如,點(diǎn),的中點(diǎn)坐標(biāo)為,即
材料二:如圖1,正比例函數(shù)和的圖象相互垂直,分別在和上取點(diǎn)、使得分別過點(diǎn)作軸的垂線,垂足分別為點(diǎn).顯然,,設(shè),,則,..于是,所以的值為一個(gè)常數(shù),一般地,一次函數(shù),可分別由正比例函數(shù)平移得到.
所以,我們經(jīng)過探索得到的結(jié)論是:任意兩個(gè)一次函數(shù),的圖象相互垂直,則的值為一個(gè)常數(shù).
(1)在材料二中,=______(寫出這個(gè)常數(shù)具體的值)
(2)如圖2,在矩形中,點(diǎn)是中點(diǎn),用兩段材料的結(jié)論,求點(diǎn)的坐標(biāo)和的垂直平分線的解析式;
(3)若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱,用兩段材料的結(jié)論,求點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形,AB是⊙O的直徑,OF⊥AB,交AC于點(diǎn)F,點(diǎn)E在AB的延長線上,射線EM經(jīng)過點(diǎn)C,且∠ACE+∠AFO=180°.
(1)求證:EM是⊙O的切線;
(2)若∠A=∠E,BC=,求陰影部分的面積.(結(jié)果保留和根號(hào)).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)中,四邊形OCNM為矩形,如圖1,M點(diǎn)坐標(biāo)為(m,0),C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,n),已知m,n滿足.
(1)求m,n的值;
(2)①如圖1,P,Q分別為OM,MN上一點(diǎn),若∠PCQ=45°,求證:PQ=OP+NQ;
②如圖2,S,G,R,H分別為OC,OM,MN,NC上一點(diǎn),SR,HG交于點(diǎn)D.若∠SDG=135°,,則RS=______;
(3)如圖3,在矩形OABC中,OA=5,OC=3,點(diǎn)F在邊BC上且OF=OA,連接AF,動(dòng)點(diǎn)P在線段OF是(動(dòng)點(diǎn)P與O,F不重合),動(dòng)點(diǎn)Q在線段OA的延長線上,且AQ=FP,連接PQ交AF于點(diǎn)N,作PM⊥AF于M.試問:當(dāng)P,Q在移動(dòng)過程中,線段MN的長度是否發(fā)生變化?若不變求出線段MN的長度;若變化,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,⊙O經(jīng)過A、B兩點(diǎn),且交AC于點(diǎn)D,連接BD,∠DBC=∠BAC.
(1)證明BC與⊙O相切;
(2)若⊙O的半徑為6,∠BAC=30°,求圖中陰影部分的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)E、F分別在平行四邊形ABCD邊BC和AD上(E、F都不與兩端點(diǎn)重合),連結(jié)AE、DE、BF、CF,其中AE和BF交于點(diǎn)G,DE和CF交于點(diǎn)H.令,.若,則圖中有_______個(gè)平行四邊形(不添加別的輔助線);若,且四邊形ABCD的面積為28,則四邊形FGEH的面積為_______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程.
(1)如果該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求m的取值范圍;
(2)在(1)的條件下,當(dāng)關(guān)于x的拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是整數(shù),且時(shí),求m的整數(shù)值.
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