Question

如圖，已知拋物線y=-

1

6

x²+

1

3

x+8與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)．

（1）求A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)及該拋物線的對(duì)稱軸；
（2）若點(diǎn)E在x軸上，點(diǎn)P（x，y）是拋物線在第一象限上的點(diǎn)，△APC≌△APE，求E，P兩點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）在拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使得∠AMC是鈍角？若存在，求出點(diǎn)M的縱坐標(biāo)n的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）令x=0，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，令y=0求出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)．
（2）連接AP交OC于F點(diǎn)，設(shè)F（0，t），連接EF，由△APC≌△APE，得出AE=AC，得出OE的長(zhǎng)即可得出點(diǎn)E坐標(biāo)，由對(duì)稱性得EF=CF，利用勾股定理求出t，確定點(diǎn)F的坐標(biāo)，可求得直線AF的表達(dá)式，與拋物線聯(lián)立得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）作輔助線以AC為直徑畫⊙N，交對(duì)稱軸l于S，T，作NQ⊥l于Q，NQ交y軸于J，連接NS，易得點(diǎn)N的坐標(biāo)，可求出NQ，NS的長(zhǎng)，由勾股定理得SQ，即可得到S，T的坐標(biāo)，
由圓的知識(shí)可得出點(diǎn)M在S，T之間時(shí)得∠AMC是鈍角．所以得出點(diǎn)M的縱坐標(biāo)n的取值范圍．

解答：解：（1）把x=0代入y=-

1

6

x2+

1

3

x+8，得y=8，所以C（0，8）．       
由-

1

6

x2+

1

3

x+8=0，解得x=-6，或x=8．
所以點(diǎn)A坐標(biāo)為（-6，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（8，0）．   
所以拋物線的對(duì)稱軸方程是直線x=1．             
（2）如圖1，連接AP交OC于F點(diǎn)，設(shè)F（0，t），連接EF，

由題意可得AC=10，
∵△APC≌△APE，
∴AE=AC=10，AP平分∠CAE．
∴OE=10-6=4，點(diǎn)E坐標(biāo)為（4，0）．
∵AP平分∠CAE，
∴由對(duì)稱性得EF=CF=8-t．
在Rt△EOF中，OE²+OF²=EF²，
∴4²+t²=（8-t）²，解得t=3．
∴點(diǎn)F坐標(biāo)為（0，3）．            
設(shè)直線AF的表達(dá)式y(tǒng)=kx+b（k≠0），
將點(diǎn)A（-6，0），F(xiàn)（0，3）代入，解得

k= 1 2 b=3

，
∴直線AF的表達(dá)式y=

1

2

x+3．
由

y= 1 2 x+3 y=- 1 6 x2+ 1 3 x+8

，
解得

x=5 y= 11 2

或

x=-6 y=0

（不符合題意，舍去）．
∴P（5，

11

2

），E（4，0）．      
（3）如圖2，以AC為直徑畫⊙N，交對(duì)稱軸l于S，T，作NQ⊥l于Q，NQ交y軸于J，連接NS，

∵C（0，8），點(diǎn)A坐標(biāo)為（-6，0），N為AC的中點(diǎn)，
∴N為（-3，4），
∵拋物線的對(duì)稱軸方程是直線x=1．
∴NQ=4，NS=5；                  
在Rt△SNQ中由勾股定理得SQ=3，
∴S，T的坐標(biāo)分別為（1，7）和（1，1），
當(dāng)M介于S和t之間時(shí)，延長(zhǎng)AM交⊙N于L，∠ALC=90°，
∠AMC＞∠ALC，
∴∠AMC是鈍角，
∴1＜n＜7，
∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)n的取值范圍1＜n＜7．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)與方程、幾何知識(shí)的綜合應(yīng)用，涉及全等三角形的性質(zhì)，一次函數(shù)解析式及圓的有關(guān)知識(shí)．解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，靈活運(yùn)用二次函數(shù)與方程、幾何知識(shí)的結(jié)合．