Question

如圖1，在平面直角坐標系中，直線y=-

2

3

x+4分別交x、y軸于A、B兩點，將△AOB沿直線y=kx-

9

4

k（k＞0）折疊，使B點落在y軸的C點處．

（1）求C點坐標；
（2）若點D沿射線BA運動，連接OD，當△CDB與△CDO面積相等時，求直線OD的解析式；
（3）在（2）的條件下，點D在第一象限，沿x軸平移直線OD，分別交x，y軸于點E，F(xiàn)，在平面直角坐標系中，是否存在點M（m，3）和點P，使四邊形EFMP為正方形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）求出點A、B的坐標，設直線y=kx-

9

4

k交x軸、y軸于點E、F，求出點E、F的坐標，設BC與直線y=kx-

9

4

k交于點G，根據(jù)折疊的性質求出點G的橫坐標，代入直線求出點G的縱坐標，再根據(jù)∠OBC和∠OFE的正切值相等列方程求解得到點G的坐標，然后求解即可；
（2）分①點D在第一象限時，根據(jù)等底等高的三角形的面積相等可知點D的縱坐標與點C的縱坐標相等，然后代入直線解析式求出橫坐標，從而得到點D的坐標，再寫出直線解析式即可；②點D在第二象限時，求出AC的長，再設點D到y(tǒng)軸的距離為a，根據(jù)S_△CDB=S_△ACD+S_△ABC列式整理，再根據(jù)△CDB與△CDO面積相等列出方程求出a，然后求出點D的坐標，再寫出直線OD的解析式即可；
（3）根據(jù)平行直線的解析式的k值相等設平移后的直線的解析式為y=2x+b，然后用b表示出OE、OF，過點M作MN⊥y軸于N，過點P作PQ⊥x軸于Q，△MNF、△FOE、△EQP是全等三角形，根據(jù)根據(jù)全等三角形對應角相等可得MN=OF=EQ，NF=OE=PQ，然后根據(jù)點M的縱坐標為3列出方程求出b值，再求出OE、OF，然后求出OQ、PQ，寫出點P的坐標即可．

解答：解：（1）令x=0，則y=4，
令y=0，則-

2

3

x+4=0，
解得x=6，
所以，A（0，4），B（6，0），
設直線y=kx-

9

4

k交x軸、y軸于點E、F，
則E（

9

4

，0），F(xiàn)（0，-

9

4

k），
設BC與直線y=kx-

9

4

k交于點G，
則點G的橫坐標為

0+6

2

=3，
代入直線y=-

2

3

x+4得，點G的縱坐標y=

3

4

k，
∵∠OBC+∠OCB=∠OFE+∠OCB=90°，
∴∠OBC=∠OFE，
∵tan∠OBC=

3 4 k

6-3

=

1

4

k，tan∠OFE=

OE

OF

=

9 4

9 4 k

=

1

k

，
∴

1

4

k=

1

k

，
解得k=2，k=-2（舍去），
∴點G的坐標為（3，

3

2

），
∵點B、C關于 點G對稱，
∴點C的坐標為（0，3）；

（2）①點D在第一象限時，
∵△CDB與△CDO面積相等，
∴CD∥OB，
∴點D的縱坐標為3，
當y=3時，-

2

3

×x+4=3，
解得x=

3

2

，
∴點D的坐標為（

3

2

，3），
∴直線OD的解析式為y=2x；
②點D在第二象限時，AC=4-3=1，
設點D到y(tǒng)軸的距離為a，
則S_△CDB=S_△ACD+S_△ABC
=

1

2

×1•a+

1

2

×1×6
=

1

2

a+3，
∵△CDB與△CDO面積相等，
∴

1

2

a+3=

1

2

×3a，
解得a=3，
∴點D的橫坐標為-3，
當x=-3時，y=-

2

3

×（-3）+4=2+4=6，
∴點D的坐標為（-3，6），
∴直線OD的解析式為y=-2x；

（3）設OD平移后的解析式為y=2x+b，
令y=0，則2x+b=0，
解得x=-

b

2

，
令x=0，則y=b，
所以，OE=

b

2

，OF=b，
過點M作MN⊥y軸于N，過點P作PQ⊥x軸于Q，
∵四邊形EFMP是正方形，
∴易證△MNF≌△FOE≌△EQP，
∴MN=OF=EQ，NF=OE=PQ，
∵M（m，3），
∴ON=b+

b

2

=3，
解得b=2，
∴OE=1，OF=2，
∴OQ=OE+QE=1+2=3，
∴點M（-2，3），點P（-3，1），
故，存在點M（-2，3）和點P（-3，1），使四邊形EFMP為正方形．

點評：本題是一次函數(shù)綜合題型，主要利用了直線與坐標軸的交點的求法，軸對稱的性質，銳角三角函數(shù)的定義，三角形的面積，正方形的性質，全等三角形的判定與性質，難點在于（1）根據(jù)等角的正切列出方程，（2）根據(jù)點D的位置分情況討論，（3）作輔助線構造出全等三角形并根據(jù)點M的縱坐標列出方程．