Question

如圖，已知一次函數(shù)y₁=kx+b的圖象與x軸相交于點A，與反比例函數(shù)y₂=

c

x

的圖象相交于B（-1，5）、C（

5

2

，d）兩點．點P（m，n）是一次函數(shù)y₁=kx+b的圖象上的動點．
（1）求k、b的值；
（2）若點P在線段AB上運動（A、B兩點除外），過點P作x軸的平行線與函數(shù)y₂=

c

x

的圖象相交于點D．試求△PAD的面積；（注：結果用含有字母m的式子表示）
（3）若m＞0，

n

m

是整數(shù)，直接寫出滿足條件的所有點P的坐標．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題,分式的混合運算,待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式

專題：綜合題

分析：（1）用待定系數(shù)法易求出反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式，從而解決問題．
（2）過點A作射線DP的垂線，垂足為H，從條件出發(fā)，可以用m的代數(shù)式依次表示點P的縱坐標即點D的縱坐標、點D的橫坐標，從而可以用m的代數(shù)式表示DP、AH，進而表示出△PAD的面積．
（3）首先把

n

m

轉化為

-2m+3

m

，再轉化為-2+

3

m

．要使

n

m

是整數(shù)，只需

3

m

是整數(shù)，由于m＞0，因此整數(shù)m可取3或1，從而可以求出點P的坐標．

解答：解：（1）∵點B（-1，5）在反比例函數(shù)y₂=

c

x

的圖象上，
∴c=-1×5=-5．
∴y₂=-

5

x

．
∵點C（

5

2

，d）在反比例函數(shù)y₂=-

5

x

的圖象上，
∴

5

2

d=-5．
∴d=-2．
∴點C的坐標為（

5

2

，-2）．
∵點B（-1，5）、點C（

5

2

，-2）在直線y₁=kx+b上，
∴

-k+b=5 5 2 k+b=-2

．
解得：

k=-2 b=3

∴k=-2，b=3．

（2）y₁=-2x+3．
當y₁=0時，-2x+3=0．
解得：x=

3

2

．
則點A的坐標為（

3

2

，0）．
過點A作射線DP的垂線，垂足為H，如圖所示，
∵點P（m，n）在線段AB上運動（A、B兩點除外），
∴n=-2m+3，（-1＜m＜

3

2

）．
∵DP∥x軸，
∴y_D=n=-2m+3．
∵點D在反比例函數(shù)y₂=-

5

x

的圖象上，
∴x_D=

-5

-2m+3

=

5

2m-3

．
∴DP=m-

5

2m-3

．
∵AH=-2m+3，
∴S_△ADP=

1

2

DP•AH
=

1

2

（m-

5

2m-3

）•（-2m+3）
=-m²+

3

2

m+

5

2

．
∴△PAD的面積為-m²+

3

2

m+

5

2

，（-1＜m＜

3

2

）．

（3）∵n=-2m+3，
∴

n

m

=

-2m+3

m

=-2+

3

m

．
∵

n

m

是整數(shù)，
∴

3

m

是整數(shù)．
∵m＞0，m是整數(shù)，
∴m=3或1．
當m=3時，n=-2×3+3=-3，
則點P的坐標為（3，-3）．
當m=1時，n=-2×1+3=1，
則點P的坐標為（1，1）．
故滿足條件的所有P的坐標為（3，-3）或（1，1）．

點評：本題考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、分式的化簡、坐標與線段之間的關系等知識，而把一個分式（分子與分母都含有字母）拆成一個整數(shù)與一個分式（分子是整數(shù)）的和是解決第三小題的關鍵．